隨機過程課中的一個復積分問題

今天上課的時候老師講到標準正態分佈X ~N(0,1) 的特徵函數的求法的時候，老師提供了一種特別的方法，如下所示：

E(eitX)=∫+∞−∞eitx12π−−√e−x22dx=e−t22∫+∞−∞12π−−√e−(x−it)22dx=e−t22,

這個證明看起來有一定的道理，但是值得疑惑的是上面的證明涉及到了一個復積分，目前所學到的正態分佈都是在實數範圍內討論的是否有這樣的一種分佈X ~N(it,1),t∈R,i2=−1. 或者退一步，直接考慮如下復積分∫+∞−∞12π√e−(x−it)22dx=1 是否成立？首先積分的存在性是可以保證的，取定t ：

∣∣∣∫+∞−∞12π−−√e−(x−it)22dx∣∣∣≤∫+∞−∞12π−−√∣∣∣e−(x−it)22∣∣∣dx=et22∫+∞−∞12π−−√ex22dx=et22<+∞

竊以爲這是不可避免地引入復變的知識的，對所求積分做換元，實際上本問題只需要證明下面的式子即可：

∫∞−it−∞−itex22dx=∫∞−∞ek22dk,x∈C,k∈R.

考察積分∫R+itR−itex22dx, 如圖所示考慮複平面上的一條周線ABCD ,顯然函數ex22 在區域內解析，由柯西積分定理(積分與路徑無關)有：(D點對應的複數應該是R−it 纔對，圖中有誤)

∫AB+∫BC+∫CD+∫DA=0,

故可以有如下等式成立

∫AD=∫R−itR−itex22dx=∫AB+∫RRex22dx+∫CD,

令R→∞ ,下面證明此時有limR→∞∫AB=0,limR→∞∫CD=0 ,注意到AB 上的複數可以用x=−R−ih,h∈[0,t] ，表示，那麼考慮模：

0≤|e−x22|=|e−(−R−ih)22|=e−R2+h22≤eR2+t22→0,

於是有limR→∞∫AB=0 ,同理limR→∞∫CD=0. 於是

limR→∞∫R−itR−itex22dx=limR→∞(∫AB+∫CD)+limR→∞∫RRex22dx=limR→∞∫RRex22dx,

i.e.

∫∞−it−∞−itex22dx=∫∞−∞ek22dk,x∈C,k∈R.

於是問題得以完美解決，歡迎大家批評指正。

————————後續思考————————
1.一開始猜想∫AB=0,∫CD=0 成立，然而並不，又猜想∫AB+∫CD=0 ，因爲積分路徑關於y 軸對稱，然而居然也不恆成立，沒想到是在R→∞ 時分別等於0，歎爲觀止。

2.在思考前超過一些文獻，認爲涉及這種配方法的解答都是有問題的，畢竟這個問題似乎並不顯然，比如維基百科的解釋，表示遺憾