學習筆記 | 分析連續數據的數學

01 對於無限的理解

02 極限

“若x無限放大，則函數f（x）無限接近於定數p”可以表示爲：

在這種情況下，p被稱作f（x）的極限值。

03 歐拉常數e

用以下極限來定義的定數e被稱作歐拉常數或自然對數的底。

04 積分：求解面積

積分與面積

y=f（x）與x=a、x=b（a＜b）以及x軸圍成的圖形面積S，使用∫與dx表示如下：

05 連續型隨機變量與概率密度函數

• 取連續型數據的隨機變量X被稱爲連續型隨機變數。

概率密度函數

• 連續型隨機變數X取值範圍爲a≤X≤b時，其概率P（a≤X≤b）爲下圖所示的面積，即

這時，f（x）被稱作X的概率密度函數 。

概率密度函數的性質

（1）f（x）總是≥0 …

注：隨機變數X可取的值，被限定在α≤x≤β的範圍內時，

06 連續型隨機變量的平均值與方差

連續型隨機變數的期待值E（X（或平均值）與方差V（X）

連續型隨機變數X的取值範圍在α≤X≤β，且概率密度函數爲f（x）時

07 正態分佈

正態分佈的平均值與標準差

當X是呈正態分佈N（μ, σ2）的隨機變數時：平均值：E（X）=μ

標準正態分佈

當隨機變數X呈正態分佈時，假設隨機變數Z滿足

則隨機變數Z呈N（0,1）的標準正態分佈

08 正態分佈表

標準正態分佈重要的性質

• 隨機變數Z呈標準正規分佈N（0,1）時，-1.96≤Z≤1.96的面積佔全體面積的95%。

09 什麼是推測統計

推測統計分爲兩個重要模塊

• 一是通過研究樣本對母集團做出概率預測的“推算”；
• 二是針對已知數據的差值，找出產生差值原因的“檢驗”。

使用標準正態分佈進行“推算”

“μ的95%置信區間是α≤μ≤β” 是指：“在母集團中隨機觀測與這一次相同數量的數據，且用同樣的方式重複確定置信區間的話，那麼，在100次中大概有95次，μ的值落在a以上b以下的範圍內。"

使用標準正態分佈進行“檢驗”

• 統計學中的檢驗是一種合理判斷數據是否存在異常的手段。
• 首先，有95概率發生的事件被視爲“發生概率較大”的事件。以這一標準進行的檢驗被稱爲 “有意水準5%驗證” 。

在已知母集團呈標準差爲σ的正態分佈時，建立“真正的平均值爲μ”這一假說，並進行“有意水準5%驗證”後，如果針對被觀測的數據X來說：

以上不等式成立的話，我們就說“接受原假設”。反之，不等式不成立時，就說“拒絕原假設”。

• 有名的t檢驗是利用了t分佈（由於在實際工作中，標準差（σ）是未知的，常用S作爲σ的估算值，爲了與μ變換區別，稱爲t變換，統計量t值的分佈稱爲t分佈。）進行的檢驗。而呈正態分佈的母集團中抽出的數據樣本呈標準正態分佈（當數據量在數百甚至數千以上時，t分佈與標準正態分佈幾乎一致）就十分接近於t分佈。