【每日算法】堆排序

1、堆：堆數據結構是一種數組對象。

對於表示堆的數組arr[0…n-1]，我們以arr[0]爲根，給定某個節點下標i，令其父節點和左右後代節點的下標爲：

parent(i) = (i-1)/2;

left(i) = 2*i+1;

right(i) = 2*i+2;

堆分爲最大堆和最小堆，上面就是最大堆，特點就是：除根節點以外的每個節點i，都有arr[ parent(i) ] >= arr[i]。最小堆的特點則是：除根節點以外的每個節點i，都有arr[ parent(i) ] <= arr[i]。

堆排序一般使用最大堆，最大堆中的最大元素位於根節點。

因爲具有n個元素的堆是基於一顆完全二叉樹的，所以其高度爲O(log n)。

2、如何保持堆中的性質：

首先，我們假定以節點i的左右兒子爲根的兩棵二叉樹都是最大堆，而以節點i爲根的二叉樹可能不是最大堆，則調整的過程如下：

1. 從元素arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]中找出最大的元素，將下標存在largest中；
2. 如果arr[i]是最大的，說明以節點i爲根的二叉樹是最大堆，無須調整，程序結束；否則，交換arr[i]和arr[largest]，於是arr[i], arr[left(i)], arr[right(i)]三者滿足了最大堆的性質，但是交換後，下標爲largest的節點存放arr[i]的值，以該節點爲根的子樹又可能違反最大堆的性質，因此需要對該子樹遞歸調用本調整過程

代碼：

//arr[0...size-1]
void maxHeapify(int arr[], int i, int size)
{
    int l = left(i);
    int r = right(i);
    int largest = i;
    if (l < size && arr[l] > arr[largest])
        largest = l;
    if (r < size && arr[r] > arr[largest])
        largest = r;
    if (largest != i)
    {
        exchange(arr[i], arr[largest]);
        maxHeapify(arr, largest, size);
    }
}

3、建堆：

上面保持堆的性質是一個鋪墊，它也是堆算法中的核心部分，後面我們將利用它完成建堆和堆排序。

我們先看看如何使用maxHeapify()來將一個數組arr[0…size-1]變成一個最大堆。

對於每一片樹葉，我們都可以看作是一個只含一個元素的堆。於是對於葉子節點的父親節點（左右子樹都是最大堆），我們可以調用maxHeapify()來進行調整。調整之後，我們得到更大的堆，對於這些堆的父節點，我們又可以調用maxHeapify()來進行調整。

爲保證maxHeapify()的調用前提，我們只需從最下面的非葉子節點開始調整，一直到根節點，整個堆建立完畢。

那麼，最下面的非葉子節點的下標是多少？

在這裏我只給出結論，有興趣的讀者可以嘗試證明一下：

當用數組表示存儲了n個元素的堆時，葉子節點的下標爲：n/2， n/2+1, … , n-1。 （n/2表示向下取整）

於是我們的調整順序爲n/2-1, … , 0：

代碼：

buildMaxHeap(int arr[], int size)
{
    for (int i = size/2-1; i >= 0; --i)
        maxHeapify(arr, i, size);
}

4、堆排序：

爲進行原地排序，我們引入另一個變量：heap_size，它用來表示堆的大小，而用size來表示數組的大小。

於是數組arr[0…size-1]中，arr[0…heap_size-1]爲堆，arr[heap_size, size-1]爲排好序的元素。

由最大堆的性質可知道，arr[0]存放着堆中最大的元素，於是可以利用該性質如下排序：

1. 初始heap_size = size，調用buildMaxHeap(arr, heap_size)建立最大堆；
2. 令i = size-1，交換arr[0]和arr[i]，heap_size–，i–；
3. 交換後，原來根的子女仍是最大堆，而根元素則可能違背了最大堆的性質，所以調用maxHeapify(arr, 0, heap_size)進行調整；
4. 重複以上過程，直到堆的大小變爲2，此時再重複一次以上過程，整個數組便從小到大排好序了。

代碼：

void heapSort(int arr[], int size)
{
    if (NULL == arr || size <= 0)
        return ;
    int heap_size = size;
    buildMaxHeap(arr, heap_size);
    for (int i = size-1; i >= 1; --i)
    {
        exchange(arr[0], arr[i]);
        --heap_size;
        maxHeapify(arr, 0, heap_size);
    }
}

堆排序（heapsort）的時間複雜度爲O(n logn)，不穩定。