兩個重要極限定理推導

兩個重要極限定理：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \tag{1}$
和
$\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \tag{2}$

引理(夾逼定理)

定義一：

如果數列 $\lbrace X_n \rbrace$，$\lbrace Y_n \rbrace$ 及 $\lbrace Z_n \rbrace$ ，滿足下列條件：

(1) 當 $n > N_0$ 時，其中 $N_0 \in N^*$ ，有 $Y_n \le X_n \le Z_n$，

(2) $\lbrace Y_n\rbrace$，$\lbrace Z_n \rbrace$ 有相同的極限$a$，設 $- \infty < a < + \infty$，則，數列 $\lbrace X_n \rbrace$ 的極限存在，且
$\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = a$
定義二：

$F(x)$ 與 $G(x)$ 在 $X_0$ 連續且存在相同的極限 $A$，即 $x \rightarrow X_0$ 時，$\lim F(x) = \lim G(x) = A$，則

若有函數在$f(x)$ 在 $X_0$ 的某領域內恆有 $F(x) \le f(x) \le G(x)$ ，則當 $X$ 趨近 $X_0$， 有
$\lim F(x) \le \lim f(x) \le lim G(x)$
即
$A \le lim f(x) \le A$
故
$\lim(X_0) = A$
簡單地說：函數 $A>B$，函數 $B>C$，函數$A$的極限是$X$，函數 $C$ 的極限也是 $X$ ，那麼函數 $B$ 的極限就一定是 $X$，這個就是夾逼定理。

定理 1 證明：

如上圖，對於弧 $\mathop{AC}\limits^{\frown}$ ，由於半徑 $1$，所以，弧 $\mathop{AC}\limits^{\frown}$ 長 $x$。圖片很直觀地看出 $\sin x \le x \le \tan x$，並在 $x \rightarrow 0$的時候，他們都"相等"。這個是幾何直觀的，如果我們假設化曲爲直是可行的。

所以，

由上述公式，
$\sin x \le x \le tan x \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{\tan x}{\sin x} \iff 1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}$
由上式取倒數得：
$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$
因爲，
$\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = 1$
所以，
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
定理 1，得證。

定理2，證明：

首先，證明此極限存在；

構造數列
$x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$
根據二項式定理，進行展開：
$x_n = C_n^01^n(\frac{1}{n})^0 + C_n^11^{n-1}({\frac{1}{n}})^1 + C_n^21^{n-2}({\frac{1}{n}})^2 + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n!}1^0(\frac{1}{n})^n \\ = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) \\ < 2 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} + \cdots \frac{1}{n!} \\ < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 3 - \frac{1}{2^{n-1}} < 3$
而對於
$x_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \\ = 2 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \cdots + \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) + \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1})$
所以
$x_{n+1}-x_n = \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1}))\cdots(1- \frac{n}{n+1}) > 0$
故，
$x_{n+1} > x_n$
該序列爲單調遞增序列，存在極限，記此極限爲 $e$。

對於實數 $x$，則總存在整數 $n$，使得 $n \le x \le n+1$，則有
$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})}{1 + \frac{1}{n+1}} = \frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n+1})} = \frac{e}{1} = e$

同理，
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$

故，根據夾逼定理，函數 $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}frac(1 + \frac{1}{x})^x$ 的極限存在，爲$e$。