两个重要极限定理:
x→0limxsinx=1(1)
和
x→∞lim(1+x1)x=e(2)
引理(夹逼定理)
定义一:
如果数列 {Xn},{Yn} 及 {Zn} ,满足下列条件:
(1) 当 n>N0 时,其中 N0∈N∗ ,有 Yn≤Xn≤Zn,
(2) {Yn},{Zn} 有相同的极限a,设 −∞<a<+∞,则,数列 {Xn} 的极限存在,且
n→∞limXn=a
定义二:
F(x) 与 G(x) 在 X0 连续且存在相同的极限 A,即 x→X0 时,limF(x)=limG(x)=A,则
若有函数在f(x) 在 X0 的某领域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) ,则当 X 趋近 X0, 有
limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即
A≤limf(x)≤A
故
lim(X0)=A
简单地说:函数 A>B,函数 B>C,函数A的极限是X,函数 C 的极限也是 X ,那么函数 B 的极限就一定是 X,这个就是夹逼定理。
定理 1 证明:
如上图,对于弧 AC⌢ ,由于半径 1,所以,弧 AC⌢ 长 x。图片很直观地看出 sinx≤x≤tanx,并在 x→0的时候,他们都"相等"。这个是几何直观的,如果我们假设化曲为直是可行的。
所以,
由上述公式,
sinx≤x≤tanx⟺1≤sinxx≤sinxtanx⟺1≤sinxx≤cosx1
由上式取倒数得:
cosx≤xsinx≤1
因为,
x→0limcosx=1
所以,
x→0limxsinx=1
定理 1,得证。
定理2,证明:
首先,证明此极限存在;
构造数列
xn=(1+n1)n
根据二项式定理,进行展开:
xn=Cn01n(n1)0+Cn11n−1(n1)1+Cn21n−2(n1)2+⋯+n!n(n−1)(n−2)⋯110(n1)n=1+1+2!1(1−n1)+3!1(1−n1)(1−n2)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)<2+2!1+3!1+⋯n!1<2+21+221+231+⋯+2n−11=3−2n−11<3
而对于
xn+1=(1+n+11)n+1=2+2!1(1−n1)+⋯+n!1(1−n1)(1−n2)⋯(1−nn−1)+(n+1)!1(1−n+11)(1−n+12))⋯(1−n+1n)
所以
xn+1−xn=(n+1)!1(1−n+11)(1−n+12))⋯(1−n+1n)>0
故,
xn+1>xn
该序列为单调递增序列,存在极限,记此极限为 e。
对于实数 x,则总存在整数 n,使得 n≤x≤n+1,则有
(1+n+11)n<(1+x1)x<(1+n1)n+1
n→∞lim(1+n+11)n=n→∞lim1+n+11(1+n+11)=limn→∞(1+n+11)limn→∞(1+n+11)n+1=1e=e
同理,
n→∞lim(1+n1)n+1=n→∞lim(1+n1)(1+n1)n=n→∞lim(1+n1)n→∞lim(1+n1)n=e
故,根据夹逼定理,函数 f(x)=limn→∞frac(1+x1)x 的极限存在,为e。