概率统计-方差与正态分布（高斯分布）

方差

方差表示的是一组数据相对于平均数$\mu$的离散程度

在数据统计中，大部分情况下都是不能对总体的数据进行统计。比如统计一批键盘使用寿命，如果键盘都去做寿命测试，那都测坏了没法卖钱养家了。
此时需要从一批键盘中随机挑选一些键盘去代表总数进行测试。即抽取一些样本，对样本的计算结果去估计总体的一些情况。

平均数的计算公式 $\mu$ = $\frac {\sum_{i=1}^n x_i} {n}$ ， 样本的平均数和总体的平均数求法一致的；

总体方差的计算公式$\sigma^2$ = $\frac{ {\sum_{i=1}^n} {(x_i - \mu )^2} } {n}$ ；

样本方差计算公式 $\sigma^2$ = $\frac{ {\sum_{i=1}^n} {(x_i - \mu )^2} } {n-1}$ 。

之所以分母是n-1，在样本数据足够大且无异常数据的情况下，分母可以为n 。
结论：样本估计的方差是总体方差的$\frac {n−1} {n}$倍，样本方差的期望是总体方差的一个无偏估计 。
无偏估计：是多次随机取样本计算，此时样本就会无限接近总体计算值，这个过程就是无偏估计。

$\frac {n} {n-1}S^2$ = $\frac {n} {n-1}$ $\frac {\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2} {n}$ = $\frac {\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2} {n-1}$

正态分布（高斯分布）

正态分布，常态分布，高斯分布在不同的文章中会有不同的说法，他们的意义都是一样的。
通过上面的公式， 方差表示的是，观察数据偏离中心趋势（就是平均数）的离散程度。平均数表示观察数据的一般化情况。
知道观察数据的一般化情况和观察数据离散程度，那么就能得出很多特性了。
比如在平均数左右区间范围内，通过这个区间范围与$\sigma$ 标准差进行比较，就能得出对应的概率是多少，如果这种方式放到计算机中求一些大于某个数的概率是多少，计算机算法复杂度将会降到O(1)。由此就可以引出正态分布这个利器了，正态分布是前人已经整理好的东西，我们直接使用其结论解决问题就可以了。

正态分布的公式 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ $e^{- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ 也可以表示成 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ exp{ ${- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ } 。

得到了计算公式，标准差 $\sigma$ 为 2，平均数为$\mu$ 为 0。得到如下图。

正态分布高的意义

之前一直好奇，正态分布图像的高是什么意思。可以通过计算得出，根据上面已知的$\sigma$和$\mu$，带入公式，可以的出$f(0)$等于 0.19947114020071635 。
那么高的意义是什么呢：
正态分布在计算概率密度时候，是根据距离中心值(平均值)的距离，然后求出对应图像的面积即是对应的概率；
如上所述，既然是求得面积得出对应的概率值。有了与中位值的距离，也就是宽。那么也应该需要有高。这里的高就是正态分布曲线存在的意义；
有时候离散程度（$\sigma$ 标准差）大一点，那么这个纵轴就需要配合着降低点高度。因为图形面积（概率密度）要保证在距离中心位置（$\mu$平均数）的 $\sigma$标准差 范围内是一个固定值；这里也是体现正态分布纵轴（高度）的意义。
从正态分布的特性中，都知道，在距离一个 若干倍的 $\sigma$ 范围内概率 是 固定值 。

下图可以看出，在若干倍的 $\sigma$ 范围内的概率分布。所以正态分布都是前人准备好的，根据横轴就能得出概率密度了。

正态分布函数与函数积分 Java代码实现

为了能够快速验证，把Java代码贴出来。
normfun是正态分布函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ exp{ ${- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ } 的代码。

代码的mu变量是公式中的 $\mu$ 平均数，sigma变量是公式中的 $\sigma$ 标准差，x就是变量中的x。

private static double normal(double x, double mu, double sigma) {
    double denominator = Math.pow(Math.E, -(((x - mu) * (x - mu)) / (2 * sigma * sigma)));
    double numerator = sigma * Math.sqrt(Math.PI * 2);
    return denominator / numerator;
}

验证正态分布函数是否满足性质，需要对正态分布函数求定积分，如下代码贴出了正态分布函数的定积分代码。

private static double calculate(double upperLimit, double lowerLimit) {
    double distence = 0.01;
    double count = (upperLimit - lowerLimit) / distence;
    double sum = 0;
    for (double i = 0; i < count; i++) {
        double calSum = lowerLimit + distence * i;
        double fxHigh = normal(calSum, 0, 2);
        double fxSquare = fxHigh * distence;
        sum += fxSquare;
    }
    return sum;
}

水平原因，错误难以避免，希望批评并不吝指出，谢谢！