學弟講算法·快速冪

一、問題提出

求 $3^{13}$

二、問題研究

2.1 常規算法

$3^{13}$ = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3
需要算14次,太麻煩,不符合程序員的逼格

2.2 快速冪

$(13)_{10}$ = $(1101)_2$ = 1 * $2^3$ + 1 * $2^2$ + 0 * $2^1$ + 1 * $2^0$

$3^{13}$ = $3^{1 * 2^3 +1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 }$

$3^{13}$ = $3^8$ * $3^4$ * $3^1$

需要算7次,方便運算

推導過程
$3^1$ = $(3^1)$

$3^2$ = $(3^1)^2$

$3^4$ = $(3^2)^2$

$3^8$ = $(3^4)^2$

快速冪就是運算過程不斷對底數進行平方運算，並當指數的二進制某位爲 1 時,保存當前底數的值

2.3 代碼實現

代碼實現

typedef long long ll;
//a爲底數,b爲指數
ll fastPower(int a,int b) {
	if(b==0) {
		return 1;
	}
	//res用來保存結果
	ll res = 1;
	while(b) {
		//指數當前位爲1時,保存底數的值
		if(b&1) {
			res*=a;
		}
		//判斷指數的下一位
		b>>=1;
		//底數做平方運算
		a*=a;
	}
	return res;

}

運行結果:

b&1 表示b與1進行按位與操作,若b當前二進制位爲1則結果爲1；同時若b爲奇數時，該操作結果也爲1

>> 表示位移運算

2.4 相關教程

二進制按位與,位移運算教程