学弟讲算法·快速幂

一、问题提出

求 $3^{13}$

二、问题研究

2.1 常规算法

$3^{13}$ = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3
需要算14次,太麻烦,不符合程序员的逼格

2.2 快速幂

$(13)_{10}$ = $(1101)_2$ = 1 * $2^3$ + 1 * $2^2$ + 0 * $2^1$ + 1 * $2^0$

$3^{13}$ = $3^{1 * 2^3 +1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 }$

$3^{13}$ = $3^8$ * $3^4$ * $3^1$

需要算7次,方便运算

推导过程
$3^1$ = $(3^1)$

$3^2$ = $(3^1)^2$

$3^4$ = $(3^2)^2$

$3^8$ = $(3^4)^2$

快速幂就是运算过程不断对底数进行平方运算，并当指数的二进制某位为 1 时,保存当前底数的值

2.3 代码实现

代码实现

typedef long long ll;
//a为底数,b为指数
ll fastPower(int a,int b) {
	if(b==0) {
		return 1;
	}
	//res用来保存结果
	ll res = 1;
	while(b) {
		//指数当前位为1时,保存底数的值
		if(b&1) {
			res*=a;
		}
		//判断指数的下一位
		b>>=1;
		//底数做平方运算
		a*=a;
	}
	return res;

}

运行结果:

b&1 表示b与1进行按位与操作,若b当前二进制位为1则结果为1；同时若b为奇数时，该操作结果也为1

>> 表示位移运算

2.4 相关教程

二进制按位与,位移运算教程