瞭解赫夫曼樹一文就夠了

前言

這是我聽老師講課做的筆記。
作者：RodmaChen
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一. 定義

1. 路徑：從樹中一個結點到另一個結點之間的分支構成兩個結點之間
   的路徑。

2. 路徑長度：路徑的上分支的數目。就是從一個結點到另一個結點有多少個路徑

3. 結點的路徑長度：從根到該結點的路徑長度。

4. 樹的路徑長度：從樹根到每一個結點的路徑長度之和。

5. 結點的權：在一些應用中，賦予樹中結點的一個有某種意義實數

6. 結點的帶權路徑長度：從根結點到各個葉結點的路徑長度與相應結點權值的乘積。

7. 樹的帶權路徑長度：所有葉結點的帶權路徑長度之和，記作：
   ${WPL= \sum_{k=1}^n W_kl_k} （其中，n：葉結點數目；W_k：葉結點 k的權值；l_k根到k之間的路徑長度）$

8. 最優二叉樹/ 赫 夫曼樹： 假設有n個權值(w1,w2…wn)，試
   構造一棵有n個葉子結點的二叉樹，每個葉子結點帶權爲wi ，
   則其中帶權路徑長度WPL最小的二叉樹稱作最優二叉樹或赫
   夫曼樹。

二. 赫夫曼算法

1.基本思想

給定n個權值，先找出兩個最小的權值wi,wj,求wi+wj=wk,把wk與其它權值繼續重複此動作，直至所有的wi都成爲葉子結點。

如下圖所示：給定7,5,3,1。選取根結點的權值最小（1）和次小（3）的兩棵二叉樹作爲新的二叉樹的左右子樹構造新的二叉樹，新的二叉樹的根結點權值爲左右子樹根結點權值之和（4）。最後7，5,3,1變成葉子結點。這樣一顆樹就是赫夫曼樹。

2.算法的實現

（1）赫夫曼樹的存儲結構：

赫夫曼樹是一種二叉樹，由於赫夫曼樹中沒有度爲 1 的結點，因此一棵有 n 個葉子的赫夫曼樹共有 2n-1 個結點，可以用一個大小爲 2n-1 的一維數組存放赫夫曼樹的各個結點。

爲什麼是2n-1： [根據二叉樹的性質三](file:///D:/課本筆記/我的筆記/計算機數據結構與算法筆記/第六章：樹和二叉樹的性質和定義.html)由於沒有度爲1的結點，所以度爲2的結點N=n-1，總結點等於2n-1

由於每個結點同時還包含其雙親信息和孩子結點的信息，所以構成
一個靜態三叉鏈表。

​ 權值 雙親 左孩子 右孩子

（2）赫夫曼樹的類型定義：

用靜態三叉鏈表實現的哈夫曼樹類型定義如下：

#define N 20 /* 葉子結點的個數。*/
#define M 2*N-1 /* 所有結點的個數。*/
typedef struct
{
	int weight ; /* 結點的權值*/
	int parent ; /* 雙親的下標*/
	int LChild ; /* 左孩子結點的下標*/
	int RChild ; /* 右孩子結點的下標*/
} HTNode, HuffmanTree[M+1];
/* HuffmanTree 是一個結構數組類型，0 號單元不用。 */
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht, int w[ ], int n)
{    /*構造哈夫曼樹 ht[M+1]， w[ ]存放 n 個權值。*/
      /* 1 ~ n 號單元存放葉子結點，初始化*/
     for(i=1;i<=n;i++) ht[i] ={ w[i],0,0,0};
     m=2*n-1;
     for(i=n+1;i<=m;i++) ht[i] ={0,0,0,0};
    /* n+1 ~ m 號單元存放非葉結點，初始化 */
   ——————————初始化完畢！對應算法步驟 1，下面左邊的表——————
    for(i=n+1; i<=m; i++) /*創建非葉結點，建哈夫曼樹*/
   {
        select(ht, i-1, s1, s2);
       /* 在 ht[1] ~ ht[i-1] 的範圍內選擇兩
       個 parent 爲 0 且 weight 最小的結點，其序號分別賦值給 s1、s2 返回 */
       ht [i].weight= ht [s1].weight+ ht [s2].weight;
       ht [s1].parent=i; ht [s2].parent=i;
       ht [i].LChild=s1; ht [i].RChild=s2;
    } /*哈夫曼樹建立完畢*/
}

（3）代碼事列：

數據傳送中的二進制編碼。要傳送數據 state, seat,act, tea, cat, set, a,eat，如何使傳送的長度最短？爲了保證長度最短，先計算各個字符出現次數，將出現次數當作權值，如下表所示。

按照創建哈夫曼樹算法，該例建立哈夫曼樹的結果如下表所示：

三.赫夫曼編碼

1.編碼和解碼（考例題）

（1）數據壓縮過程稱爲編碼。即將文件中的每個字符均轉
換爲一個惟一的二進制位串。

（2）數據解壓過程稱爲解碼。即將二進制位串轉換爲對應
的字符。

等長編碼：每個字符的碼長一樣。

變長編碼：頻度高的（出現多的）字符編碼短，反之則長。

舉例： 假設需傳送的電文爲’ABACCDA'，分別按定長和不定長編碼，如
下表所示

如上表所示：A、B、C、D的定長編碼分別爲00、01、10和11，則上
述7個字符的電文便爲’00010010101100’ ，總長14位，對方接收時，可
按二位一分進行譯碼。

如果設計A、B、C、D的編碼分別爲0、00、1和01，則上述7個字符的
電文可轉換成總長爲9的字符串’000011010'。但是，這樣的電文無法翻
譯，例如傳送過去的字符串中前4個字符的子串’0000’就可有多種譯法，
或是’AAAA'，或是’ABA’，也可以是’BB’等。

前面兩種編碼一個太長，一個容易出錯

前綴編碼：若要設計長短不等的編碼，則必須是任一個字符的編碼
都不是另一個字符的編碼的前綴

舉例：可以利用二叉樹來設計二進制的前綴編碼。左走0右走1

二進制前綴 編碼便稱爲赫夫曼編碼。

2.編碼實現

由於赫夫曼樹中沒有度爲1的結點，則一棵有n個葉子結點的赫夫曼樹
共有2n-1個結點，可以存儲在一個大小爲2n-1的一維數組中。如何選定結點結構？由於在構成赫夫曼樹之後，爲求編碼需從葉子結點出發走一條從葉子到根的路徑；而爲譯碼需從根出發走一條從根到葉子的路徑。則對每個結點而言，既需知雙親的信息，又需知孩子結點的信息。

由此，設定下述存儲結構:

//一一一一赫夫曼樹和赫夫曼編碼的存儲表示----------
typedef struct{
unsigned int weight;
unsigned int parent, lchild, rchild;
}EINode, * HuffmanTree: //動態分配數組存儲赫夫曼樹
typedef char * *HuffmanCode; //動態分配數組存儲赫夫曼編碼表
void HaffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC，int *w，int n) {
//  w存放n個字符的權值(均>0)，構造赫夫曼樹HT,並求出n個字符的赫夫曼編碼HC
 /---構造赫夫曼樹HT---   
if (n<= 1) return;//如果只有一個結點，就沒必要構造了
m = 2 * n - 1; //結點總數
HT = (HuffmanTree)malloc((m+ 1) * sizeof(HTNode)); //0號單元未用
for (p=HT, i=1; i<=n; ++i, ++p, ++w) *p = {*w,0, 0,0 );
for(; i≤=m; ++i，++p) *p ={0,0,0.0};
for (i=n+ 1; i<=m; ++i) { //建赫夫曼樹
//在HT[1..i-1]選擇parent 爲0且weight 最小的兩個結點,其序號分別爲s1s2.
Select(HT, i- 1, sl, s2);
HT[sl]. parent = i; HT[s2]. parent = i;
HT[i]. Ichild = s1; HT[i].rchild = s2;
HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
}
/---從葉子到根逆向求每個字符的赫夫曼編碼---
HC= (HuffmanCode)malloc ((n+1)*sizeof(char *)); //分配n個字符編碼的頭指針向量
cd = (char * )malloc(n* sizeof(char)); //分配求編碼的工作空間
cd[n-1] = "\0"; //編碼結束符。
for(i=1; i<=n; ++i) { //逐個字符求赫夫曼編碼
start = n-1; //編碼結束符位置
for (c=i, f= HT[i]. parent; f!=0; :c= f, f=HT[f].parent) //從葉子到根逆向求編碼
if (HT[f].lchild==c) cd[--start] = "0”;
else cd[--start] ="1";
HC[i] = (char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); // 爲第i個字符編碼分配空間
strcpy(HC[i], &cd[start]); //從cd複製編碼(串)到HC
}
free(ed); //釋放工作空間
}//HuffanCoding

臨時存儲編碼（倒着存）

四.邊學邊練

（1）分析這三棵樹路徑長度和帶權路徑長度那個最小有什麼特點。

(a)：WPL＝72+52+22+42=36 樹的路徑長度：10

(b)：WPL= 73+53+21+42=46 樹的路徑長度：12

©： WPL= 71+52+23+43=35 樹的路徑長度：12

（2） 給定8個權值：5，29，7，8，14，23，3，11，構造赫夫曼樹

答案：

例6-2 已知某系統在通信聯絡中只可能出現8種字符,其概率分別爲0.05，0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，試設計赫夫曼編碼。

解答：設權W=(5,29,7,8,14,23,3,11)，n=8，則m=15，按上述算法可構造-棵赫夫曼樹如圖6.26所示。其存儲結構HT的初始狀態如圖6.27(a)所示，其終結狀態如圖6.276)所示，所得赫夫曼編碼如圖6.27©所示。

作者：RodmaChen
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