MOEAD中一種使解更均勻分佈的聚合函數介紹

多目標進化算法系列

• 多目標進化算法(MOEA)概述
• 多目標優化-測試問題及其Pareto前沿
• 多目標進化算法詳述-MOEA/D與NSGA2優劣比較
• 多目標進化算法-約束問題的處理方法
• 基於C#的多目標進化算法平臺MOEAPlat實現
• MOEAD中聚合函數等高線分析
• MOEAD中一種使解更均勻分佈的聚合函數介紹

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基於分解的多目標進化算法需要聚合函數來比較個體優劣來指導種羣進化方向，目前常用的三種聚合函數在該系列文章中的第一篇已有介紹，分別是

• Weighted Sum Approach
• Tchebycheff Approach
• penalty-based boundary intersection (PBI) approach

本文基於PBI方法改進提出一種新的新的方法用於種羣進化過程中的個體比較，下面看看PBI方法的幾何示意圖，在第一篇文章中已給出該圖，爲了方便，本文再次給出，如下圖

下面看看基於PBI方法對於一個較爲複雜前沿的多目標優化問題，所得到的理想解的示意圖（其中權重向量與Pareto前沿的交點即爲理想解，如A、B、C、D點），

由上圖可知，對於均勻分佈的權重向量，並不能得到在Pareto前沿均勻分佈的解，A點與B點的在前沿上的路徑明顯大於B點與C點的，因此，基於PBI的方法在處理該類帶有複雜前沿的多目標優化問題時，效果不盡人意。

PBI方法使用一條從原點出發到參照點的直線來指導選擇操作，但對於複雜前沿的多目標問題，這種方法不能得到比較均勻的解。爲此，一種改進的PBI(MPBI)方法用來解決具有長尾和尖峯前沿的問題。
爲了後續表述更加簡潔，特別是一些名詞的使用以及其所代表的含義，先來給出一些概念的定義。

理想點(Ideal point)
理想點表示的是每個維度最優值組成的一個向量 $z^*=(z_{1}^*,..., z_{m}^*)$， 其中 $z_i^* = min f_i(x)$，${i}\in \{1,...,m\}$。

標準目標向量(Standard objective vector)
爲了使ideal point爲座標原點， 向量 $F^{standard} = F(x) - z^*$ 被視爲 standard objective vector， 其中 $f_{i}^{standard}(x) = f_{i}(x)-z_{i}^*$ and ${i}\in \{1,...,m\}$。

截距(Intercept)
超平面表達式爲$\sum_{i=1}^mf_i=1$，其中$m$爲目標維度, 很顯然，該超平面與座標軸會有交點，該交點到座標原點的距離稱之爲截距(Intercept)， 由於該超平面的法向量爲$(1,...,1)^T$，因此，對於每一個座標軸其Intercept是相等的。

投影點(Projective point)
將目標向量$F(x)$投影到超平面的點稱之爲投影點，且記爲$F^p(x)$，其中$F^p(x)$的第$i$個分量記爲$f_i^p(x)$。

補足位移(Supplemental displacement)
在目標空間中，$d=(d_{1},...,d_{m})$稱之爲補足位移，其中$d_{i}={min}f_i^p(x)$, ${i}\in \{1,...,m\}$。

切點(Tangent point)
在當前種羣個體中，必定存在一個解$x^*$使得其對應的Standard Objective Vector $F^{standard}(x^*)$使超平面的截距最小，就將其對應的目標向量記爲$F^{Tangent}(x^*)$。

首先來看該聚合函數示意圖，如下，

PBI方法是當前基於分解的多目標進化算法中一種常用的聚合函數，該方法對於常規前沿的多目標問題能得到較好的效果，但對於複雜前沿的多目標問題，效果較差，對於陡峭區域及平緩區域的解都丟失了，而在某些區域解卻很稠密。這種改進的PBI方法(MPBI)恰好能解決該問題。
其數學表達式如下：
$g^{MPBI}(x|P,z^*)=d_1 + \theta d_2$
其中，
$d_1=\frac{||F(x)- P -z^*||}{||w||}$
$d_2=||F(x)- P - (z^* + d_1 \frac{w}{||w||})||$

其中，$w = (1,...,1)^T$是一個$m$維的恆定不變的超平面的法向量，$P$是參照點。上圖介紹了該方法的幾何意義。
在上圖中，$P_1$是參照點的邊界點，而過$P_1$的法向量穿過$Q_1$，因此，$Q_1$就成了POF的邊界點，而這顯然不符合實際需求，很大一部分的POF被忽略了，爲了解決這個問題，超平面和種羣中的個體都必須移動，使得所有個體在超平面上的投影都在第一象限內。下面來詳細介紹這些方法。

移動和投影操作
上圖展示了移動和投影操作。考慮到超平面沿着方向向量$w=(1,...,1)^T$移動，則超平面在每個座標軸上的截距是相等的。對於當前種羣中的個體，爲了獲得更小的截距，如上圖(b)所示，這個超平面穿過點$Q_1$，此時截距計算如下：
$D_{intercept} = \mathop {\min}\limits_{x\in F_1}\sum_{i = 1}^mf_i^{standard}(x) \tag{1}$

其中，$D_{intercept}$表示最小截距，$F_1$表示當前種羣中的非支配個體。

如圖(b)所示，$Q_2$在超平面上的投影點$P_1$仍在第二象限，顯然有些邊界解也會被丟棄。因此，接下來求補足位移。對於每一個個體$x\in F_1$， $F^p(x) = (f_i^p(x),...,f_m^p(x))$是其在超平面的投影點，其中$F^p(x)$中的每一個分量$f_i^p(x)$可如下計算:
$f_i^p(x) = f_i^{standard}(x) - \frac{\sum_{i=1}^m f_i^{standard}(x) - D_{intercept}}{m} \tag{2}$
這樣，補足位移$d=(d_{1},...,d_{m})$中的每一個分量是對應投影點的最小值，其表達如下:
$d_i = \mathop {\min}\limits_{x\in F_1} f_i^p(x), i \in \{1,2,...,m\} \tag{3}$
如此便可將超平面和所有的目標向量同時移動使得所有的目標向量投影到超平面上的投影點都在第一象限。這些轉換後的目標向量記爲Transformed standard objective value $\tilde{F}(x)$，且其每一個分量計算公式如下：
$\tilde{f}_i(x) = f_i^{standard}(x) - d_i, i \in \{1,2,...,m\} \tag{4}$
由於超平面也有移動，因此其截距也會有變化，其更新公式如下：
$D_{intercept} = D_{intercept} - \sum_{i = 1}^m d_i \tag{5}$
這樣如圖(c)所示，$Q_2$在超平面上的投影點$P_1$就不會落在第二象限，並且所有的解在超平面的投影都落在第一象限。

通過移動和投影操作，超平面和種羣中解的目標向量的位置將會從圖(a)移動到圖(c)所示的位置。這樣一來，所有的投影點都在第一象限。

爲了更進一步描述算法以及後面需要用到的一些結論，以下介紹幾個推論，並給出證明。

推論1：轉換後的標準目標向量在超平面之上。
證明：假設$x^*$是一個可行解且$F(x^*)$是切點。移動超平面使其穿過$F(x^*)$，此時的截距記爲$D_{intercept}$。根據式
(1)，對於任意一個解$x$, $\sum_{i=1}^m f_i^{standard}(x) \geq D_{intercept}$。經過轉換後，對於每一個解$x$，轉換後的標準目標向量$\sum_{i=1}^m\tilde{f}_i(x) \geq \tilde{D}_{intercept}$。因此得證。

推論2：如果$F(x^*)$是POF的邊界點，那麼經轉換後的標準目標向量投影到超坪面的投影點就在超平面的邊界上。
證明：如果$F(x^*)$是POF的邊界點，那麼根據式(3),$\exists i \in \{1,2,...,m\}$, s.t. $f_i^p(x^*) = d_i$，並且根據式(2，4，5)，$\tilde{f}_i^p(x^*) = 0$，因此得證。

推論3：轉換後的截距$D_{intercept}$是使所有的目標向量在超平面的投影點都在第一象限的最小值。
證明：如果存在一個截距小於$D_{intercept}$使得投影點都在第一象限，則根據推論(2)，對於一個邊界點$F(x^*)$, $\exists i \in \{1,2,...,m\}$, s.t. $\tilde{f}_i^p(x^*) < 0$，因此不存在這樣的小於$D_{intercept}$的截距。因此得證。

推論4：計算截距和補足位移時只需用到種羣中的非支配解。
證明：$\forall x_1 \in R_t \backslash F_1$，必定有$\exists x^* \in F_1$ 滿足 $x^*$ 支配 $x_1$，根據式(1)有$\sum_{i = 1}^mf_i^{standard}(x^*) < \sum_{i = 1}^mf_i^{standard}(x_1)$,並且根據式(2)有$f_i^p(x^*)<f_i^p(x_1)$ for $i=1,2,...m$。因此，對於任意一個非支配解$x_1$，總存在一個解$x^*$支配$x_1$，並且其對應的補足位移和截距更小。因此得證。

下面看下效果，以二維多目標優化問題F1爲例，該問題的前沿面比較複雜，結果如下：

很顯然，MPBI的效果遠遠優於PBI聚合函數，PBI得到的解都聚集在前沿面的中間部分，而MPBI得到的解均勻分佈在整個前沿面上。

下面以三維多目標優化問題mF4爲例，結果如下圖：

其中，$\theta$-DEA使用的聚合函數爲PBI，顯然，MPBI的效果也明顯優於PBI。

當然，爲了更好的體現出MPBI的作用，對於三維及更高維的多目標優化問題以及不連續的問題，其需要配合一種參照點動態調整的技術，在此不再介紹，有興趣的朋友可以去看下論文A modified PBI approach for multi-objective optimization with complex Pareto fronts。

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參考文獻：
[1] A modified PBI approach for multi-objective optimization with complex Pareto fronts
[2] 基於分解思想的多目標進化算法研究. 湖南大學, 2018