P1430 序列取数(区间DP)

P1430 序列取数(区间DP)

传送门

思路：区间$dp$。想了好半天+看题解才搞明白，这里再梳理一遍。

显然当$A$的取值和最大时，因为$sum_A+sum_B=$常数，所以$sum_A-sum_B$最大。

令$dp[l][r]$为区间$[l,r],A和B$的最大差值。

因为$dp[1][n]=sum_A-sum_B$。

所以$sum_A=\dfrac{(dp[1][n]+pre[n])}{2}$

当先手取左区间$[l,l'-1]$,剩余区间为$[l',r]$,$l'\in[l+1,r]$时有转移方程：

$dp[l][r]=max(dp[l][r],pre[l'-1]-pre[l-1]-dp[l'][r])$。

表示的是先手只能取得左区间的数$[l,l'-1]$和后面的状态(之前的后手变为先手的最大差值$dp[l'][r]$)。

右区间同理,剩余区间为$[l,r']$：

$dp[l][r]=amx(dp[l][r],pre[r]-pre[r']-dp[l][r'])$.

因为这样是$O(n^3)$的，所以考虑优化。

显然我们可以预处理左区间计算时的$pre[l'-1]-dp[l'][r]$的最大值和右区间的$pre[r']+dp[l][r']$的最小值。

$mx[l][r]=max(pre[k-1]-dp[k][r]),k\in[l+1,r].$

$mn[l][r]=min(pre[k]+dp[l][k]),k\in[l,r-1].$

然后对这两个进行区间更新维护即可。

时间复杂度:$O(n^2)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int mx[N][N],mn[N][N],f[N][N],pre[N],a[N];
//mx[i][j]  pre[k-1]-f[k][j] k 属于[i+1,j] 
//mn[i][j] pre[k]+f[i][k] k属于[i,j-1] 
int main(){
	int t; 
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<=n+1;i++){
			pre[i]=0;
			for(int j=1;j<=n+1;j++) f[i][j]=mx[i][j]=mn[i][j]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),pre[i]=pre[i-1]+a[i];
		for(int i=1;i<=n;i++){
			f[i][i]=a[i],mx[i][i]=pre[i-1]-f[i][i];
			mn[i][i]=pre[i]+f[i][i]; 
		}
		for(int k=2;k<=n;k++)
			for(int l=1,r=k;r<=n;l++,r++){
				f[l][r]=pre[r]-pre[l-1];
				f[l][r]=max(f[l][r],mx[l+1][r]-pre[l-1]);
				f[l][r]=max(f[l][r],pre[r]-mn[l][r-1]);
				mx[l][r]=max(mx[l+1][r],pre[l-1]-f[l][r]);
				mn[l][r]=min(mn[l][r-1],pre[r]+f[l][r]); 
			}
			printf("%d\n",(f[1][n]+pre[n])/2); 
	}
	return 0;
}

思路2：参考另一位大佬的，我觉得比上面一种方法好，但是容易超时，自己手写$min$能快一倍的速度。。。

传送门

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N],dp[N][N],f[N][N],g[N][N];
inline void read(int &x){ 
	x=0;int w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15);
	x*=w; 
}
int main(){
	int t; 
	read(t);
	while(t--){
		int n;
		read(n);
		for(reg int i=1;i<=n;i++){
			read(a[i]),dp[i][i]=f[i][i]=g[i][i]=a[i];
			a[i]+=a[i-1];
		}
		for(reg int k=2;k<=n;k++)
			for(reg int l=1,r=k;r<=n;l++,r++){
				 int tmp=0;
				 if(f[l+1][r]<g[l][r-1]) tmp=f[l+1][r];
				 else tmp=g[l][r-1];
				 if(tmp>0) tmp=0;
				 dp[l][r]=a[r]-a[l-1]-tmp;
				 if(f[l+1][r]>dp[l][r]) f[l][r]=dp[l][r];
				 else f[l][r]=f[l+1][r];
				 if(g[l][r-1]>dp[l][r]) g[l][r]=dp[l][r];
				 else g[l][r]=g[l][r-1];
			}
			printf("%d\n",dp[1][n]); 
	}
	return 0;
}