DFT再理解
2015.12.18
之前學習《信號與系統》的時候，對於用fft（）函數分析離散、連續時間信號的頻譜出來的結果一直一知半解，這學期學習了《數字信號處理》，學習了離散傅里葉變換（DFT），對之前的寫的程序做進一步理解。
在此之前，先將CTFS、DTFS、CTFT、DTFT的公式列出來，方便理解：
注意：這裏計算離散週期信號的傅里葉係數的公式前面少了一個N分之一，下面也會涉及到。
（一） 用DFT分析離散非週期信號的頻譜（離散非週期的DTFT爲連續週期的，以2*pi爲週期）
比較DTFT和DFT公式可以發現：
N點DFT是DTFT結果在[0,2*pi]週期內N點採樣；
所以，分析離散非週期信號的頻譜的思路如下：
（1） 對已知的信號進行截短（如果本來就是有限長的則不用）；
（2） 對截短的離散信號做N點DFT（這裏的N應該大於離散信號的點數，N越大，在頻域的採樣就越密集）；
（3） 將橫座標轉換爲【-pi，pi】，符合實際的情況（/N*2*pi）。
具體的解釋見下面的代碼（具體代碼粘貼在最後面）。
下面是一個例子：
運行結果如下：
（二） 用DFT分析離散週期信號的頻譜（離散週期信號的DTFS爲離散週期的，以基波週期N爲週期）
比較DTFS和DFT公式，可以發現：
如上面提到的，上面的DTFS公式與實際的相差了N倍，所以在畫頻譜的時候需要考慮進去。
離散週期信號的基波週期爲N，取其中N點做N點DFT相當於離散週期信號DTFS的一個N週期內的值。
所以，分析離散週期信號的頻譜的思路如下：
（1） 確定基波週期N；
（2） 取離散週期信號的N個點，如【0，N-1】；
（3） 做N點DFT（幅度上要除以N，原因在DTFS公式比DFT公式前面多了一項1/N）;
（4） 得到離散週期信號在一個基波週期內的傅里葉係數；
下面是一個例子：
（三） 用DFT分析連續非週期信號的頻譜（連續非週期信號的CTFT爲連續非週期的）
利用採樣，將連續非週期信號，轉換成離散非週期信號，對得到的離散非週期信號做DFT，類似於（一），最後再利用模擬頻率與數字頻率的關係（模擬頻率乘以採樣週期等於數字頻率）將橫座標由數字頻率轉換爲模擬頻率：
分析連續非週期信號的頻譜的思路如下：
（1） 根據需要截短（如果連續信號是無限長的）；
（2） 估計信號的最高頻率fm；
（3） 採樣頻率fs>2*fm；
（4） 按T（T=1/fs）對連續信號進行採樣；
（5） 對採樣後的信號（相當於離散非週期信號）做N點DFT（此處的N應該大於等於採樣點數，而且越大越好，越大代表如（一）分析的，在頻域上的採樣就越密集，對離散非週期信號的頻譜更好地逼近），DFT結果幅度上要除以T，這是採樣導致的結果；
（6） 將橫座標轉換成模擬頻率（/N*2*pi*fs）。
下面是一個例子：
（四） 用DFT分析連續週期信號的頻譜（連續週期信號的CTFS爲離散非週期）
對連續週期信號在一個或多個基波週期長度內進行採樣，採樣頻率fs>2*fm，對採樣點做等長（假設爲N）的DFT（幅度上得除以N，原因同（二）），由於用了採樣，所以同（三）一樣需要將數字頻率轉換成模擬頻率（/N*2*pi*fs）。
分析連續週期信號的頻譜的思路如下：
（1） 確定基波週期To和最高頻率fm，採樣頻率fs>2*fm；
（2） 對連續週期信號的一個週期（可以多個週期）以頻率fs進行均勻採樣，採樣點數爲N；
（3） 對採樣點做N點DFT（幅度/N，原因同（二））；
（4） 將橫座標轉換成模擬頻率（/N*2*pi*fs）。
下面是一個例子：
全部代碼：
function test1
%%%%%%%%(1)離散非週期%%%%%%%%%%%%% x = 0.8.^n;(頻譜爲連續週期（週期爲2*pi）)
N = 31;%%%%%無限長的信號應根據需要先截斷
n = 0:N-1;
x = 0.8.^n;
X = fft(x,N);%%%%%%對截斷的離散信號做N點DFT相當於在其頻譜的【0,2pi】區間做N點均勻採樣
figure;
subplot(3,1,1);
stem(n,x);
subplot(3,1,2);
plot([-(N-1)/2:(N-1)/2],abs(fftshift(X)));%%%%%%此處畫出來的頻譜圖的橫座標是對離散非週期信號的實際頻譜在[-pi,pi]區間採樣的點
subplot(3,1,3);
plot([-(N-1)/2:(N-1)/2]./N*2*pi,abs(fftshift(X)));%%%%%%此處將頻譜的橫座標轉化爲[-pi,pi]區間，這纔是實際情況（離散非週期信號的DTFT是連續週期的，以2pi爲週期）
%%%%%%(2)離散週期%%%%%%%%%%%%% x =cos(pi/8*n+pi/3)+0.5cos(7*pi*n/8);(頻譜爲離散週期（週期爲基波週期N）)
%%%%%%%%確定信號的基波週期爲16
N = 16;
n = 0:N-1;
x = cos(pi/8*n+pi/3)+0.5*cos(7*pi*n/8);
X = fft(x,N)/N;%%%%%%對截斷的離散信號做N點DFT,得出的結果相當於是原週期信號在【0,N-1】的傅里葉係數,除以N表示DFT公式與離散週期信號傅立葉級數公式的關係所需;
figure;
subplot(3,1,1);
stem(n,x);
subplot(3,1,2);
stem([-N/2:N/2-1],abs(fftshift(X)));%%%%%%此處畫出來的頻譜圖的橫座標是離散週期信號的CTFS（傅里葉係數，以N爲週期），在[-N/2:N/2-1]的變化，即諧波次數(基波週期N=16的情況下)
subplot(3,1,3);
stem([-N/2:N/2-1]./N*2*pi,abs(fftshift(X)));%%%%%%此處畫出來的頻譜圖的橫座標是將上面的諧波次數乘上基波頻率2*pi/N
%%%%%%(3)連續非週期%%%%%%%%%%%%% x = exp(-1*t);(頻譜爲連續非週期)
%%%%%%取x的最高頻率fm爲25，根據奈奎斯準則，採樣率取100>2*25
%%%%%此處的信號無限長，同樣需要進行截短，這裏去前6秒
fs = 100;
Tp = 6;
T = 1/fs;
t = 0:T:Tp;
x = exp(-1*t);
N = 1024;%%%%%%%進行DFT的點數，這裏的N只要比採樣點數多即可，越大越能夠逼近
X = fft(x,N)*T;%%%%%%此處乘上T是由於對連續信號採樣導致的頻譜幅度變化。
subplot(2,1,1);
plot(t,x);
subplot(2,1,2);
%%%%%%此處畫出來的頻譜圖的橫座標是[-N/2:N/2-1]*(2*pi/N)是對採樣得到的離散非週期信號做頻譜分析得到的數字角頻率，乘上fs即除以採樣週期T纔得到模擬角頻率
plot([-N/2:N/2-1]*(2*pi/N)*fs,abs(fftshift(X)));
%%%%%%%(4)連續週期%%%%%%%%%%%%% x =cos(10*pi*t)+2*cos(18*pi*t);(頻譜爲離散非週期)
%%%%%%%因爲x的基波頻率爲2*pi，基波週期Tp爲1s，最高次諧波爲9，即最高頻率爲9Hz
%%%%%%%由奈奎斯採樣準則確定出採樣頻率fs=20>2*9
fs = 20;
T = 1/fs;
Tp = 1;
N = Tp/T;
t = 0:T:Tp-T;
x = cos(10*pi*t)+2*cos(18*pi*t);
X = fft(x,N)/N;
subplot(2,1,1);
plot(t,x);
subplot(2,1,2);
stem([-N/2:N/2-1]/N*fs,abs(fftshift(X)));%%%%%%此處畫出來的頻譜圖的橫座標是[-N/2:N/2-1]*(2*pi/N)是對採樣得到的離散非週期信號做頻譜分析得到的數字角頻率，乘上fs即除以採樣週期T纔得到模擬角頻率
