數理統計與數據分析第三版習題 第4章

以下解題過程都是由互聯網收集而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論

題目1

證明：如果隨機變量有界，即$|X|<M< \infty$,那麼$E(X)$存在

解題思路

令隨機變量的密度函數爲$f_(x)$，判別期望存在的條件是$\int|x|f(x)dx<\infty$爲真則期望存在。
因爲：$0\leq f_(x)\leq 1且|x| \geq0$
所以：$|x|f(x)\leq |x|$，$\int|x|f(x)dx<\int|x|dx$
$\int_{-M}^{M}|x|dx=M^2\\ \int|x|f(x)dx<\int|x|f(x)dx\\ \int|x|f(x)dx<M^2$
所以期望存在

題目2

2.令$X$具有矩生成函數 $F(x)=1-x^{-\alpha}$,$x \geq1.$
a.對於使$E(X)$存在的$\alpha$值，計算$E(X)$.
b.對於使$Var(X)$存在的$\alpha$值，計算$Var(X)$.

解：
$\begin{aligned} \because F(X)&=1-x^{-\alpha} \therefore f(x) = \alpha x^{-\alpha -1}\\ E(X)&=\int_1^{\infty}xf(x)dx\\ &=\int_1^{\infty}x \alpha x^{-\alpha -1}dx\\ &=\int_1^{\infty} \alpha x^{-\alpha }dx\\ &=\frac\alpha{\alpha-1}\\ E(X^2)&=\int_1^{\infty}x^2f(x)dx\\ &=\int_1^{\infty}x^2\alpha x^{-\alpha -1}dx\\ &=\frac\alpha{\alpha-2}\\ \\ Var(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac\alpha{\alpha-2}-(\frac\alpha{\alpha-1})^2 \end{aligned}$

題目3

計算第2章習題3中的$E(X)$和$Var(X)$
原題如下：
下表爲離散隨機變量的累積分佈函數，計算其頻率函數。

k	F(k)	f(k)
0	0	0
1	0.1	0.1
2	0.3	0.2
3	0.7	0.4
4	0.8	0.1
5	1.0	0.2

其中$f(k)$列是此題的答案。

解題

根據定義
$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i}x_ip(x_i)\\ Var(X)&=\sum_{i}(x_i-\mu)^2p(x_i)，其中\mu=E(X) \end{aligned}$
有:
$\begin{aligned} E(X)&=0*0+1*0.1+2*0.2+3*0.4+4*0.1+5*0.2\\ &=3.1\\ Var(X)&=(0-3.1)^2*0+(1-3.1)^2*0.1+(2-3.1)^2*0.2+(3-3.1)^2*0.4+(4-3.1)^2*0.1+(5-3.1)^2*0.2\\ &=1.49 \end{aligned}$

題目4

如果$X$是離散的均勻隨機變量，即$P(X=k)=1/n $,其中 $k = 1,2,...,n$計算$EX(X)$和$Var(X)$

解

根據離散期望定義$E(X)=\sum_{i}x_ip(x_i)$有
$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i=1}^nx_i\frac1n\\ &=\frac{n+1}2 \end{aligned}$
根據方差計算公式:$Var(X)=E(X^2)-[E(X]^2$有
$\begin{aligned} Var(X)&=E(X^2)-[E(X]^2\\ &=\sum_{i=1}^nx_i^2\frac1n -(\frac{n+1}2)^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \cdot \frac1n - \frac{(n+1)^2}4\\ &=\frac{(n+1)(2n+1)}6 - \frac{(n+1)^2}4\\ &=\frac{n^2-1}{12} \end{aligned}$
備註：$\sum_{i=1}^nx_i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

題目5

令$X$具有密度
$f(x)=\frac{1+\alpha x}2,-1\leq x \leq1 \quad -1\leq \alpha \leq 1$
計算$E(X)$和$Var(X)$

解

首先必須滿足$\int|x|f(x)dx < \infty$
$\begin{aligned} \int|x|f(x)dx&=\int_{-1}^1 |x|f(x)dx\\ &=\int_{-1}^0-xf(x)dx+\int_{0}^{1}xf(x)dx\\ &=(\frac14-\frac{\alpha}6)+(\frac14+\frac{\alpha}6)\\ &=\frac12 \end{aligned}$
所有期望是存在的

$\begin{aligned} E(X)&=\int_{-1}^1 xf(x)dx\\ &=\int_{-1}^1x\frac{1+\alpha x}{2}dx\\ &=\frac12 \bigg ( \bigg [\frac{x^2}2+\frac{\alpha x^3}{3}\bigg ]_{-1}^{1}\bigg)\\ &=\frac{\alpha}3 \\ Var(X)&=\int_{-1}^{1}(x-\mu)^2f(x)dx\\ &=\int_{-1}^{1}(x-\frac{\alpha}3)^2\cdot \frac{1+\alpha x}2dx\\ &=\frac12\int_{-1}^{1}(\alpha x^3+(1-\frac23{\alpha}^2)x^2+(\frac{{\alpha}^3}9-\frac23\alpha)x+\frac{{\alpha}^2}9)dx\\ &=\frac13-\frac{{\alpha}^2}9 \end{aligned}$

題目6

令$X$是連續型隨機變量，具有概率密度函數 $f(x)=2x,0\leq x \leq 1$
a.計算E(X)
b.令$Y=X^2$,計算$Y$的概率質量函數，並由其計算$E(Y)$.
c.利用4.1.1節的定理 4.1.1.1計算$E(X^2)$,並與$b$中的答案來進行比較.
d.根據4.2節方差的定義計算$Var(x)$,同時利用4.2節的定理4.2.2計算$Var(x)$
解：
a.計算E(X)
$\begin{aligned} E(X)&=\int_0^1 xf(x)dx\\ &=\int_0^1x\cdot2x dx\\ &=\frac23 \end{aligned}$
b.令$Y=X^2$,計算$Y$的概率質量函數，並由其計算$E(Y)$.
$\begin{aligned} f_Y(y)&=f_x(y^{\frac12})\cdot (y^{\frac12})^{'}\\ &=2\cdot y^{\frac12}\cdot \frac12 y^{-\frac12}\\ &=1\\ E(Y)&=\int_0^1y\cdot f_Y(y)dy\\ &=\int_0^1 y dy\\ &=\frac12 \end{aligned}$
c.利用4.1.1節的定理 4.1.1.1計算$E(X^2)$,並與$b$中的答案來進行比較.
$\begin{aligned} E(X^2)&=\int_0^1 x^2f(x)dx\\ &=\int_0^1x^2\cdot2x dx\\ &=\frac12 \end{aligned}$
與b.中的答案一樣。
d.根據4.2節方差的定義計算$Var(x)$,同時利用4.2節的定理4.2.2計算$Var(x)$
$\begin{aligned} 按定義計算\\ Var(X)&=\int_0^1(x-\mu)^2f(x)dx\\ &=\int_0^1(x-\frac23)\cdot 2x dx\\ &=\int_0^1 (2x^3+\frac89x-\frac83x^2)dx\\ &=\frac12-\frac49\\ &=\frac1{18}\\ 按定理4.2.2計算\\ Var(x)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=\int_0^1x^2f(x)dx - (\frac23)^2\\ &=\int_0^12x^3dx-\frac49\\ &=\frac12-\frac49\\ &=\frac1{18} \end{aligned}$

題目24

證明：如果$X_1......X_n$是具有聯合分佈的隨機變量並且期望值爲$E(X_i)$,$Y$是$X_i$的線性組合，$Y=a+\Sigma_{i=1}^{n}b_iX_i$,則$E(Y)=a+\sum\limits_{i=1}^{n}b_iE(X_i)$

解題思路

令n=2
$\begin{aligned} E(Y)&=\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}(a+b_1x_1+b_2x_2)p(x_1,x_2)\\ &=\underbrace{a\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}p(x_1,x_2)}_{1}+\underbrace{b_1\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_1p(x_1,x_2)}_2+\underbrace{b_2\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_2p(x_1,x_2)}_3 \end{aligned}$
其中：
$\begin{aligned} a\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}p(x_1,x_2)&=a\\ b_1\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_1p(x_1,x_2)&=b_1E(x_1)\\ b_2\sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}x_2p(x_1,x_2)&=b_2E(x_2) \end{aligned}$

題目29

證明：如果隨機變量$X$和$Y$是獨立的，那麼$E(XY)=E(X)E(Y)$

解題思路

根據公式
$\begin{aligned} E(XY)&=\iint xyf(x,y)dxdy\\ &=\iint xyf(x)f(y)dxdy\\ &=\int xf(x)dx \cdot \int yf(y)dy\\ &=E(X) \cdot E(Y) \end{aligned}$