題目4

一個篩子是用線紡織成的方形網格，線的直徑爲 $d$ ,網格中每一個孔都是方形的，邊長爲 $w$ ,半徑爲 $r$ 的球形顆粒滴在網格上，它成功穿過網孔的概率是多少？在 $n$ 次下滴的過程中顆粒沒能通過篩子的概率是多少（這樣的計算與篩分理論有關，篩分理論可以用來分析顆粒物質的尺寸分佈)

解題思路

如果 $w$ 是網孔的寬度，則 $(\frac12d+w+\frac12d)=(w+d)$ 是兩根線中點的距離，如果 $N$ 是網孔的數量那麼篩子的總面積是：
$A_{total}=N(w+d)^2$

爲了讓顆粒物質穿過網孔並且不接觸網線，那麼顆粒物的中心必須在一個比網孔更小的區域內即 $(w-2r)$ ,則總的可通過區域的面積是:
$A_{pass}=N(w-2r)^2$

對於一次下滴過程，成功穿過網孔的概率是
$P_{pass}=\frac{A_{pass}}{A_{total}}=\frac{(w-2r)^2}{(w+d)^2}$

沒能穿過的概率爲
$P_{fail}=1-P_{pass}$

$n$ 次下滴都沒有能穿過網孔的概率爲
$(P_{fail})^n = (1-P_{pass})^n = \left(1-\dfrac{(w-2r)^2}{(w+d)^2}\right)^n$

如習題4，球形顆粒落在網格上，其半徑具有密度函數 $f_R(r)$ ,計算穿過網格顆粒數的密度函數

根據上題中的結果
$P_{pass}=\frac{(w-2r)^2}{(w+d)^2}$

根據書中公式 $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{Y|X}(y|x)f_X(x)dx$

本題結果爲：
$\int\frac{(w-2r)^2}{(w+d)^2}f_R(r)dr$

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