數理統計與數據分析第三版習題 第3章 第25-27題

題目25

令X具有密度函數 $f 並令Y=X 和 Y=-X的概率都爲\frac{1}{2},證明Y的密度是關於0對稱的，即f_Y(y)=f_Y(-y)$.

解題思路

根據X=Y有：
$f_{Y|X}(x|x)=\frac12$
根據X=-Y有
$f_{Y|X}(-x|x)=\frac12$
$\begin{aligned} f_y(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y|X}(x|x)f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac12f(x)dx=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\\ f_y(-y)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y|X}(-x|x)f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac12f(x)dx=\frac12\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx \end{aligned}$

所以 $f_y(y)=f_y(-y)$

題目26

令$P$是[0,1]上的均勻分佈，給定$P=p$的條件下,$X$是參數爲$p$的伯努利分佈.計算在給定$X$時$P$的條件分佈.

解題思路

本題實際求解的是$f_{P|X}(p|x)$,答案在本書例3.5.2.5已經給出即

$f_{P|X}(p|x)=\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(x+1)\Gamma(n-x+1)}p^x(1-p)^{n-x}$

即$f_{P|X}(p|x) \sim Be(x+1,n-x+1)$

本題並沒有把握是正確的

參考

【1】https://math.stackexchange.com/questions/325396/prove-that-the-following-probability-density-is-symmetric-about-zero

題目27

證明：對$x$和$y$當且僅當$f_{X|Y}(x|y)=f(x)$時$X$和$Y$是獨立的.

解題思路

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}=f(x)$

$\Rightarrow$
$f(x,y)=f(x)f(y)$

以上解題過程都是由互聯網收集或自己計算而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論