线性变换与仿射变换 点和向量的代数定义

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[用抽象代数讨论仿射变换和仿射空间中的座标变换] 是重新整理的，以下是之前的内容。

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这里谈论的是计算机图形学中的内容，当然源自数学，但有的地方没有使用纯粹数学上的那种严格定义。

线性变换

抽象定义

域F上的向量空间V，任意的x、y∈V a∈F, 若 映射f: V->V满足
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(ax)=af(x)
则映射f是一个线性变换。

矩阵表示

When V are finite dimensional, a general linear transformation can be written as a matrix multiplication only after specifying a vector space basis for V. http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html

ai∈F, xi∈V, i=1,2,…,n
则 f( a1x1+a2x2+…+anxn ) = a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn)

假设(e1,e2,…,en)是向量空间V的一组基底，
则xi可以唯一地表示成：xi1e1+xi2e2+…+xinen

行向量(xi1,xi2,…,xin)的转置记作(xi1,xi2,…,xin)’
记xi=(xi1,xi2,…,xin)’ ——（列向量形式的）座标，以下不区分向量和它的座标：

则
e1=(1,0,…,0)’
e2=(0,1,…,0)’
…
en=(0,0,…,1)’
（xi1,xi2,…,xin∈域F，1是域F的乘法幺元。）

则 f( a1x1+a2x2+…+anxn ) = a1f(x1)+a2f(x2)+...+anf(xn) = ( f(x1),f(x2),...,f(xn) )(a1,a2,…,an)’

则 f(xi)=f( xi1e1+xi2e2+…+xinen )= (f(e1),f(e2),…,f(en))(xi1,xi2,…,xin)’
记(f(e1),f(e2),…,f(en))=M，则

f(xi) = Mxi
其中M=(f(e1),f(e2),…,f(en))
即线性变换由基底的变换唯一确定

仿射变换

仿射空间

域F上的向量空间V 和 非空集合A，对于任意的 p∈A v∈V，p+v ∈A，且：
①任意的 a b ∈V: (p+a)+b=p+(a+b)
②任意的q∈A，有且只有一个u∈V，使得 p+u = q
A中的元素就称为点，V中的元素称为向量（自由向量）

由②可以定义“点的减法”：
既然任意的p,q∈A, 存在唯一的u: p+u=q
那么定义q-p=u

仿射变换的抽象定义

映射 f : V∪A → V∪A 满足
①若p∈A, 则f( p)∈A
②若v∈V, 则f(v)∈V
且 任意的x、y∈V a∈域F: f(x+y)=f(x)+f(y), f(ax)=af(x)
③p∈A, v∈V, f(p+v) = f( p) + f(v) 即 q,p∈A, f(q)-f( p)=f(q-p)
f 就是仿射变换。

即 f 把向量变换成向量，把点变换成点，对向量的变换是线性变换，
对点和向量的加法也有合适的体现。
可见 仿射变换 包含 线性变换。

仿射变换的矩阵表示

随便从A中找一个点，记做Q，则A中任意的点p，存在唯一的向量v∈V，使得
p = Q + v
若V是有限维度的，给V指定一组基底，从而向量v具有座标，
这时，Q叫做原点，v的座标称为点p的座标；易知原点Q的座标是零。


任意的p∈A, f( p) = f(Q+v) = f(Q) + f(v)
因为 f 是V上的线性变换，所以 f(v) = Mv (M是矩阵)
记 f(Q) 的座标为t
所以 f( p) = t + Mv
因为 p的座标就是v的座标，且用记号p,v既代表点和向量，也代表它们的座标
所以 写成 f( p) = t + Mp

所以仿射变换的形式就是（p,v既代表点和向量，也代表它们的座标）

若 v∈V, 则 f(v) = Mv
若 p∈A, 则 f( p) = Mp + t
其中M = (f(e1),f(e2),…,f(en)), t = f(Q)
即仿射变换由基底和原点的变换唯一确定

总结一下就是只要能写成座标，就能用矩阵表示出来。

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补充

仿射座标

引入

仿射变换对点和向量有不同的形式，想把这两种形式统一起来

$f( p) = Mp+t = Mp + t·1 = (M t)\begin{pmatrix} p \\ 1 \end{pmatrix}$
$f(v) = Mv = Mv +t·0 = (M t)\begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}$

定义

p,v既代表点和向量，也代表它们的座标；
定义 点的仿射座标为 $\begin{pmatrix} p \\ 1 \end{pmatrix}$
向量的仿射座标为 $\begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}$

使用仿射座标的矩阵表示

希望有个矩阵A,
$A\begin{pmatrix} p\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} f( p)\\1 \end{pmatrix} \qquad \qquad A\begin{pmatrix} v\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} f(v)\\0 \end{pmatrix}$
用x代表v或p
用b代表0或1
$A\begin{pmatrix} x\\b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} f(x)\\b \end{pmatrix}$
现在已经知道
$(M\;t)\begin{pmatrix} x\\b \end{pmatrix}=Mx+t\cdot b=f(x)$
只需求n+1维行向量 (k_n, k)
$(k_n, k)\begin{pmatrix} x\\b \end{pmatrix}=b$
所以 (k_n, k) = (0, 1); 0代表n维零向量，
则${\Large A}=\begin{bmatrix} M & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
这样仿射变换就能统一地表示成 Aa，更高维空间中的线性变换。
其中a=$\begin{pmatrix}x\\b\end{pmatrix}$ b=0或1

仿射变换矩阵的逆

假设
$\begin{bmatrix} M & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} N & d\\ w & s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\because \begin{bmatrix}0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} N & d\\ w & s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}w &s \end{bmatrix}$
$\therefore\; w=0 \quad s=1$
$\therefore\; MN=I \quad Md+st=Md+t=0$
$\therefore \begin{bmatrix} M & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} M^{-1} & -M^{-1}t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

平移变换

平移变换矩阵

v*=Mv
p*=Mp+t
平移变换的平移向量 为 c，则
M=I（单位矩阵），t = c
所以平移变换矩阵为
$\begin{bmatrix} I & c\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

平移变换矩阵的逆

$\begin{bmatrix} I & -c\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

平移与复合变换矩阵

①任意的仿射变换 都能看成 一系列变换之后 跟一个以 t 为平移向量的平移变换的复合( t 是该仿射变换的矩阵的前n行的最后一列)：
$\begin{bmatrix} I & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} M & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
②平移变换的复合（平移变换矩阵的相乘）构成交换群。
$\begin{bmatrix} I & v\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & t+v\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} I & v\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} M & t+v\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$