參考博客:http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858
設
這個遞推關係的解是：
那麼上面的遞推式的正確性我們可以簡單描述一下即可：
證明：這裏因爲
再在剩餘的n-1個點中選一個點，我們把所選的一條邊的兩點分別與所選的那一點連接起來，那麼多邊形被劃
分成3部分，一部分有k+1條邊，一部分有3條邊，另一部分有n-k+1條邊，那麼這樣就劃分成了子問題了，所
以按照這個思路可以證明遞推式成立。
那麼根據遞推式是如何推出Catalan數的通項公式呢？
這裏用到了生成函數：我們很容易寫出
我們進一步計算
因爲有：
所以有：
那麼根據牛頓二項式有：
那麼帶入化簡得到：
那麼我們最終得到：
所以：
卡特蘭數的應用
1、括號化問題
矩陣連乘：
(h(n))
例如abcd ((ab)c)d,(a(bc))d,....
思路：n對括號相當於有2n個符號，n個左括號、n個右括號，可以設問題的解爲f(2n)。第0個符號肯定爲左括號，與之匹配的右括號必須爲第2i+1字符。因爲如果是第2i個字符，那麼第0個字符與第2i個字符間包含奇數個字符，而奇數個字符是無法構成匹配的。
通過簡單分析，f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字符與第1個字符匹配，同時剩餘字符分成兩個部分，一部分爲0個字符，另一部分爲2n-2個字符，然後對這兩部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0個字符與第3個字符匹配，同時剩餘字符分成兩個部分，一部分爲2個字符，另一部分爲2n-4個字符。依次類推。
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
2、出棧次序問題
一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?h(n-1)
思路：可以這樣考慮，首先通過括號化，將P分成兩個部分，然後分別對兩個部分進行括號化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。
設n個矩陣的括號化方案的種數爲f(n)，那麼問題的解爲
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，然後分別括號化。
計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞歸式，不難發現f(n)等於h(n-1)。
類似問題
a、有2n個人排成一行進入劇場，入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
b、n個1和n個0組成一個2n位的二進制數，要求從左到右掃描，0的累計數不小於1的累計數，求滿足條件的的數。
c、12個人排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？
我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就對應着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11問題轉換爲，這樣的滿足條件的01序列有多少個。與情況b一樣。
3、給定節點組成二叉樹的問題
給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
思路：可以這樣考慮，根肯定會佔用一個結點，那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0)，設T(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。
設問題的解爲f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。
4.n*n棋盤從左下角走到右上角而不穿過主對角線的走法
5.n個+1和n個-1構成的2n項序列，其部分和總滿足：
Catalan數的高精度處理：利用遞歸式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1)
6.凸多邊形三角形劃分：在一個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。
比如當n=6時，f（6）=14.h(n-1)
7.在圓上選擇2n個點，將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？h(n)
思路：以其中一個點爲基點，編號爲0，然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號爲0相連點的編號一定是奇數，否則，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有一個孤立點，從而導致兩線段相交。設選中的基點爲A，與它連接的點爲B，那麼A和B將所有點分成兩個部分，一部分位於A、B的左邊，另一部分位於A、B的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。
設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數爲0，而位於它們左邊的點爲2n-2。依次類推。
f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞歸式，不難發現f(2n) 等於h(n)。