BZOJ2154(莫比乌斯反演)

2154: Crash的数字表格

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Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

HINT

解题思路：，，，这题做了一天，感觉是我做过最难的莫比乌斯反演的题。。。。不多说了，直接看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000000 + 10;
typedef long long LL;
const LL mod = 20101009;
int N, M;
int mu[maxn];
int prime[maxn];
bool valid[maxn];
LL pre[maxn];
void Mobius()
{
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    memset(valid, true, sizeof(valid));
    int Min = min(N, M);
    for(int i = 2; i <= Min; i++)
    {
        if(valid[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= Min; j++)
        {
            valid[i * prime[j]] = false;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
LL cal(int a, int b)
{
    LL ans1 = (LL)a * (LL)(a + 1) / 2;
    ans1 %= mod;
    LL ans2 = (LL)b * (LL)(b + 1) / 2;
    ans2 %= mod;
    return (ans1 * ans2) % mod;
}
void init()
{
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    int Min = min(N, M);
    for(int i = 1; i <= Min; i++)
    {
        pre[i] = (pre[i - 1] + ((LL)i * (LL)i) % mod * mu[i] + mod) % mod;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &N, &M);
    Mobius();
    init();
    LL ans = 0;
    int Min1 = min(N, M);
    int nxt1;
    for(int i = 1; i <= Min1; i = nxt1 + 1)
    {
        nxt1 = min(min(N / (N / i), M / (M / i)), Min1);
        LL term1 = 0;
        int nxt2;
        int res1 = N / i;
        int res2 = M / i;
        int Min2 = min(res1, res2);
        for(int j = 1; j <= Min2; j = nxt2 + 1)
        {
            nxt2 = min(min(res1 / (res1 / j), res2 / (res2 / j)), Min2);
            LL term2 = (pre[nxt2] - pre[j - 1] + mod) % mod;
            term2 = (term2 * cal(res1 / j, res2 / j)) % mod;
            term1 = (term1 + term2 + mod) % mod;
        }
        LL sum = (LL)(nxt1 - i + 1) * (LL)(i + nxt1) / 2;
        sum = (sum * term1) % mod;
        sum %= mod;
        ans = (ans + sum + mod) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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