BZOJ 2005 & BZOJ 2301

BZOJ 2005:

2005: [Noi2010]能量采集

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 552 MB
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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个座标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，座标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集座标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4


【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

BZOJ 2301:

2301: [HAOI2011]Problem b

Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 1032  Solved: 425
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Description

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

Input

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

 

Output

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

 

Sample Input

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output

14

3

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

【题解】这两道题之所以一起写，是因为它们非常相似，都可以用莫比乌斯反演解决。

首先观察第一题：

能量损失我们可以最后算，那么现在就是考虑 k的值，观察发现 k=gcd(x,y)-1;所以，问题就转化成计算gcd(x,y)=k 的对数情况。所以我们可以枚举k值，然后计算sigma.k|p u(p/k)*(x/p)*(y/p),只要枚举p/k就可以了；当然还有一种更为简便高效的方法，就是将k 提出，在(x/k)和(y/k)中找gcd(i,j)=1,这样还可以用到分块优化。不过这一题，第一种也可以过，但另一题，就不得不用到分块了。

  

proble p，这题与上一题非常相像，不过k已经给你了所以不需要枚举，提出k,后只要直接计算+分块。

 至于a,b,c,d的范围限制，只要容斥原理加减一下就可以了。

BZOJ 2005 代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
#define LL long long

int f[100001],prime[100001],u[100001];
inline void mobius()
{
 		 memset(f,0,sizeof(f));
 		 int tot=0;u[1]=1;
 		 for(int i=2;i<=100000;i++)
 		 {
 			 if(!f[i]){prime[++tot]=i;u[i]=-1;}
 			 for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=100000;j++)
 			 {
			  			f[prime[j]*i]=prime[j];
			  			if(!(i%prime[j])){
								u[i*prime[j]]=0;
								break;
					    }else u[prime[j]*i]=-u[i];
  			 }
       }
}
int main()
{
 	 
 	 mobius();
 	 int n,m;LL ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
 	 if(n>m)swap(n,m);
 	 for(int i=1;i<=n;i++)
 	 {
	  LL tot=0;
 	  for(int j=1;j<=n/i;j++)
		 tot+=(LL)(n/(j*i))*(m/(j*i))*u[j];
		 
		ans+=tot*((i-1)*2+1);
	 }
	 printf("%lld\n",ans);
	 return 0;
}

BZOJ 2301:

	#include<cstdio>
	#include<cstring>
	#include<algorithm>
	
	#define LL long long
	#define maxn 50000
	
	using namespace std;
	
	int f[maxn+1],prime[maxn+1],u[maxn+1],sum[maxn+1];
	
	inline int mobius()
	{
	 		 memset(f,0,sizeof(f));
	 		 int tot=0;u[1]=1;
			 for(int i=2;i<=maxn;i++)
			  {
			  			if(!f[i]){prime[++tot]=i;u[i]=-1;}
			  			for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=maxn;j++)
			  			 {
						  		  f[i*prime[j]]=prime[j];
						  		  if(!(i%prime[j])){
		  						  						  u[i*prime[j]]=0;
		  						  						  break;
		  						  }else u[i*prime[j]]=-u[i];
			  		  	 }
				}
			 sum[0]=0;
			 for(int i=1;i<=maxn;i++)sum[i]=sum[i-1]+u[i];
	}
	 
	inline LL solve(int x,int y)
	{
	 		 int t=min(x,y);LL ans=0;
	 		 for(int i=1,last;i<=t;i=last+1){
	 			last=min(x/(x/i),y/(y/i));
	 			ans+=(LL)(sum[last]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
			  }
	 		 return ans;
	}
	
	int main()
	{
	 	 mobius();
	 	 int a,b,c,d,k,n;
	 	 scanf("%d",&n);
	 	 while(n--){
		 				scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
		 				LL ans=0;
		 				ans+=solve(b/k,d/k);
		 				ans-=solve((a-1)/k,d/k);
		 				ans-=solve(b/k,(c-1)/k);
		 				ans+=solve((a-1)/k,(c-1)/k);
		 				printf("%I64d\n",ans);
	    }
	    return 0;
	}