[CodeForces 1109D] Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（广义 Cayley 定理 + 组合数学） | 错题本

题目

[CodeForces 1109D] Sasha and Interesting Fact from Graph Theory

分析

$a, b$ 不影响答案，不妨设 $a = 1, b = 2$，枚举 $a, b$ 之间的边数 $i \in [1, n -1]$，隔板法可得链 $a - b$ 的方案数为 $A_{n - 2}^{i - 1} \cdot C_{m - 1}^{i - 1}$（中间的点编号可以任意取，所以是 $A_{n - 2}^{i - 1}$）然后考虑剩下的点和边，首先边权随意：$A_{n - 2}^{i - 1} \cdot C_{m - 1}^{i - 1} \cdot m^{n - 1 - i}$ 然后考虑剩下的点，这个树是这个样子的：
因此接下来我们只需要求 $n$ 个点构成一个的含有 $i + 1$ 棵树的森林的数量。根据广义 Cayley 定理，$n$ 个点构成的含有 $k$ 棵树的森林数量为 $k \cdot n^{n - k - 1}$。因此 $n$ 个点构成一个的含有 $i + 1$ 棵树的森林的数量即为 $(i + 1) \cdot n^{n - i - 2}$。

证明：
将链 $a - b$ 缩为一个点，那么这个树的数量为 $n^{n - i - 2}$，再考虑把上图中的三角形轮换一圈（因为 $n^{n - i - 2}$ 算的是各个三角形的圆排列，现在把它转换成一般排列），答案即为 $(i+1)n^{n - i - 2}$。

因此答案为 $\sum_{i = 1}^{n - 1} A_{n - 2}^{i - 1} C_{m - 1}^{i - 1}(i + 1)n^{n - i - 2}m^{n - 1 - i}$

代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 1000000;
const int MOD = 1000000007;

int N, M, A1, B1;
int Fac[MAXN + 5], Inv[MAXN + 5];
int PowN[MAXN + 5], PowM[MAXN + 5];

inline int Add(int x, const int &y) {
    x += y; if (x >= MOD) x -= MOD; return x;
}

inline int Mul(const int &x, const int &y) {
    return (long long)x * y % MOD;
}

int Pow(int x, int y) {
    int ret = 1;
    while (y) {
        if (y & 1)
            ret = Mul(ret, x);
        x = Mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

int A(int n, int m) {
    return Mul(Fac[n], Inv[n - m]);
}

int C(int n, int m) {
    if (m > n) return 0;
    return Mul(Fac[n], Mul(Inv[m], Inv[n - m]));
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &A1, &B1);
    int Max = std::max(N, M);
    Fac[0] = PowN[0] = PowM[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= Max; i++) {
        Fac[i] = Mul(Fac[i - 1], i);
        PowN[i] = Mul(PowN[i - 1], N);
        PowM[i] = Mul(PowM[i - 1], M);
    }
    Inv[Max] = Pow(Fac[Max], MOD - 2);
    for (int i = Max - 1; i >= 0; i--)
        Inv[i] = Mul(Inv[i + 1], i + 1);
    int Ans = Mul(C(M - 1, N - 2), A(N - 2, N - 2));
    for (int i = 1; i <= N - 2; i++)
        Ans = Add(Ans, Mul(A(N - 2, i - 1), Mul(C(M - 1, i - 1), Mul(i + 1, Mul(PowN[N - i - 2], PowM[N - 1 - i])))));
    printf("%d", Ans);
    return 0;
}