一次面试的题目

这道题目是：

有一个蚂蚁，从节点1出发，走到节点5结束。在节点2，3，4都有0.5概率向前，0.5概率后退。蚂蚁在节点1必然前进。求蚂蚁走到第5个节点所用步数的期望或者期望近似值：

开始的时候没有思路，但是把蚂蚁前进看作+1，后退看作-1 以为跟卡特兰数有关。也是拼命的变换。毫无进展。
不过转换一下思路，考虑枚举状态转移，令P[k,t]$P[k,t]$ 表示走t步到达k节点的概率。
那么 P[k,t]$P[k,t]$ 与P[k±1,t′]$P[k\pm 1,t^{\prime }]$ 有关。那么写出所有的转移：

P[1,t]=12P[2,t−1]P[2,t]=P[1,t−1]+12P[3,t−1]P[3,t]=12(P[2,t−1]+P[4,t−1])P[4,t]=12P(3,t−1)P[5,t]=12p(4,t−1)$$\begin{gathered} P[1,t]=\frac{1}{2}P[2,t-1] \\ P[2,t]=P[1,t-1]+\frac{1}{2}P[3,t-1] \\ P[3,t]=\frac{1}{2}(P[2,t-1]+P[4,t-1]) \\ P[4,t]=\frac{1}{2}P(3,t-1) \\ P[5,t]=\frac{1}{2}p(4,t-1) \end{gathered}$$

显然可以矩阵地推。 配合快速幂，计算近似值并不难：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢010000.500.50000.500.50000.500.500000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢P[1,t−1]P[2,t−1]P[3,t−1]P[4,t−1]P[5,t−1]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢P[1,t]P[2,t]P[3,t]P[4,t]P[5,t]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0.5& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0.5& 0& 0\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 0.5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.5& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}P[1,t-1]\\ P[2,t-1]\\ P[3,t-1]\\ P[4,t-1]\\ P[5,t-1]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}P[1,t]\\ P[2,t]\\ P[3,t]\\ P[4,t]\\ P[5,t]\end{array}\right]$$

令

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢010000.500.50000.500.50000.500.500000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0.5& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0.5& 0& 0\\ 0& 0.5& 0& 0.5& 0\\ 0& 0& 0.5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0.5& 0\end{array}\right]$$

更进一步，如果不计算精确值，而是准确值，那么答案就是计算：

(∑k>=0Akk)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢P[1,0]P[2,0]P[3,0]P[4,0]P[5,0]⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=(∑k>=0Akk)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢10000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$(\sum _{k>=0}{A}^{k}k)\left[\begin{array}{c}P[1,0]\\ P[2,0]\\ P[3,0]\\ P[4,0]\\ P[5,0]\end{array}\right]=(\sum _{k>=0}{A}^{k}k)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

令λ1,λ2,λ3,λ4,λ5${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4,{\lambda }_5$ 为矩阵A的特征值。
虽然现在还不知道具体特征，但可以肯定：

λi∈(−1,1)$${\lambda }_i\in (-1,1)$$

这是因为期望必然是收敛的（直觉，不过这个也很显然好吧）。
那么令：

A=P−BP$$A=P^{-}BP$$

B=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢λ100000λ200000λ300000λ400000λ5⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$B=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\lambda }_5\end{array}\right]$$

则：

(∑k>=0Akk)=(∑k>=0P−BkPk)=P−(∑k>=0Bkk)P$$(\sum _{k>=0}{A}^{k}k)=(\sum _{k>=0}{P}^{-}{B}^{k}Pk)=P^{-}(\sum _{k>=0}{B}^{k}k)P$$

进一步：

∑k>=0Bkk=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∑λk1k00000∑λk2k00000∑λk3k00000∑λk4k00000∑λk5k⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$\sum _{k>=0}{B}^{k}k=\left[\begin{array}{ccccc}\sum {\lambda }_1^{k}k& 0& 0& 0& 0\\ 0& \sum {\lambda }_2^{k}k& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sum {\lambda }_3^{k}k& 0& 0\\ 0& 0& 0& \sum {\lambda }_4^{k}k& 0\\ 0& 0& 0& 0& \sum {\lambda }_5^{k}k\end{array}\right]$$

对于这个和式：

∑k>=0λkk=limn−>∞∑k=0nλkk$$\sum _{k>=0}{\lambda }^{k}k=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k$$

(1−λ)∑k=0nλkk=∑k=0nλkk−∑k=0nλk+1k=∑k=0nλkk−∑k=1n+1λk(k−1)=∑k=1nλk−λn+1n=λ−λn+11−λ−λn+1n$$\begin{gathered} (1-\lambda )\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k=\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k-\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k+1}k \\ =\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k-\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }^k(k-1) \\ =\sum _{k=1}^n{\lambda }^k-{\lambda }^{n+1}n \\ =\frac{\lambda -{\lambda }^{n+1}}{1-\lambda }-{\lambda }^{n+1}n \end{gathered}$$

则：

∑k=0nλkk=λ−λn+1(1−λ)2−λn+1n1−λ$$\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k=\frac{\lambda -{\lambda }^{n+1}}{(1-\lambda {)}^2}-\frac{{\lambda }^{n+1}n}{1-\lambda }$$

由于|λ|<1$|\lambda |<1$ 则：

∑k>=0λkk=limn−>∞∑k=0nλkk=limn−>∞λ−λn+1(1−λ)2−λn+1n1−λ=λ(1−λ)2$$\begin{gathered} \sum _{k>=0}{\lambda }^{k}k=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n{\lambda }^{k}k \\ =\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\lambda -{\lambda }^{n+1}}{(1-\lambda {)}^2}-\frac{{\lambda }^{n+1}n}{1-\lambda }=\frac{\lambda }{(1-\lambda {)}^2} \end{gathered}$$

如果你不相信，我们可以检验一下 ，从另一个方向计算：

λ(1−λ)2=1−(1−λ)(1−λ)2=1(1−λ)2−11−λ$$\begin{gathered} \frac{\lambda }{(1-\lambda {)}^2}=\frac{1-(1-\lambda )}{(1-\lambda {)}^2} \\ =\frac{1}{(1-\lambda {)}^2}-\frac{1}{1-\lambda } \end{gathered}$$

1(1−λ)2=∑k>=0λk(−2λ)=∑k>=0λk(k+1)11−λ=∑k>=0λk(−1k)=∑k>=0λk$$\begin{gathered} \frac{1}{(1-\lambda {)}^2}=\sum _{k>=0}{\lambda }^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{\lambda })=\sum _{k>=0}{\lambda }^k(k+1) \\ \frac{1}{1-\lambda }=\sum _{k>=0}{\lambda }^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})=\sum _{k>=0}{\lambda }^k \end{gathered}$$

最终可以反推回原式子
这也就是说：

∑k>=0Bkk=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢(λ11−λ1)200000(λ21−λ2)200000(λ31−λ3)200000(λ41−λ4)200000(λ51−λ5)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=C$$\sum _{k>=0}{B}^{k}k=\left[\begin{array}{ccccc}(\frac{{\lambda }_1}{1-{\lambda }_1}{)}^2& 0& 0& 0& 0\\ 0& (\frac{{\lambda }_2}{1-{\lambda }_2}{)}^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& (\frac{{\lambda }_3}{1-{\lambda }_3}{)}^2& 0& 0\\ 0& 0& 0& (\frac{{\lambda }_4}{1-{\lambda }_4}{)}^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& (\frac{{\lambda }_5}{1-{\lambda }_5}{)}^2\end{array}\right]=C$$

最终得到答案：

(∑k>=0Akk)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢10000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=P−CP⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢10000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$$(\sum _{k>=0}{A}^{k}k)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=P^{-}CP\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

不想手算，当然也有计算特征值和特征向量的算法。但我还不会，不过面式是可以百度的，于是我们在线计算这个矩阵的特征值：
特征值1： 0.9239$0.9239$
特征值2： 0.3827$0.3827$
特征值3： 0.0000$0.0000$
特征值4： −0.3827$-0.3827$
特征值5： −0.9239$-0.9239$
对于的特征向量：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0.37340.69000.52810.28580.1547−0.2792−0.21370.39480.51590.67400.00000.0000−0.0000−0.00001.00000.2792−0.2137−0.39480.5159−0.67400.3734−0.69000.5281−0.28580.1547⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=P$$\left[\begin{array}{ccccc}0.3734& -0.2792& 0.0000& 0.2792& 0.3734\\ 0.6900& -0.2137& 0.0000& -0.2137& -0.6900\\ 0.5281& 0.3948& -0.0000& -0.3948& 0.5281\\ 0.2858& 0.5159& -0.0000& 0.5159& -0.2858\\ 0.1547& 0.6740& 1.0000& -0.6740& 0.1547\end{array}\right]=P$$

简单的矩阵求逆，便可以计算答案。