我才发现这篇写完的博客一直在草稿箱里躺着???
题目大意
数轴上排列着个点,点的颜色有黑白两种,部分点已经确定颜色,部分点没有确定。
每个点可以任意向右边的点连边,可以连可以不连。
求交错路径(相邻的两个点颜色互异)总数为奇数的图的方案数。
思考历程
早上在打SCOI2018,所以没有做比赛。
下午的时候思考了一下,想到了个维护异或卷积前缀和来辅助转移的方法。
后来发现跟正解完全对不上,原来是这个想法本来就考虑不周到。
正解
辣鸡DP。
记表示以结尾的路径的条数。
首先可以搞出最简单的状态:,表示前个点,有个点为白色并且为奇数,有个点为黑色并且为偶数,路径总数(即)是偶数还是奇数,这个状态下的方案数。
转移可以做到:
其中表示个点中选择偶数或奇数个点的方案数。
然后就可以。
接下来可以优化一下这条东西。
时,
时,
同理,
时,
时,
于是可以优化DP状态:,时间复杂度。
代码
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200010
#define ll long long
#define mo 998244353
int n;
ll pow2[N];
int a[N];
int f[N][2][2][2];
inline void add(int &a,ll b){a=(a+b)%mo;}
int main(){
freopen("life.in","r",stdin);
freopen("life.out","w",stdout);
// freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&n);
pow2[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
pow2[i]=pow2[i-1]*2%mo;
for (int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
if (a[1]!=1) f[1][1][0][1]=1;
if (a[1]!=0) f[1][0][1][1]=1;
for (int i=1;i<n;++i)
for (int j=0;j<2;++j)
for (int k=0;k<2;++k)
for (int t=0;t<2;++t){
ll tmp=f[i][j][k][t];
if (tmp==0)
continue;
if (a[i+1]!=1){
add(f[i+1][1][k][t^1],tmp*(k?pow2[i-1]:pow2[i]));
add(f[i+1][j][k][t],tmp*(k?pow2[i-1]:0));
}
if (a[i+1]!=0){
add(f[i+1][j][1][t^1],tmp*(j?pow2[i-1]:pow2[i]));
add(f[i+1][j][k][t],tmp*(j?pow2[i-1]:0));
}
}
ll ans=f[n][0][0][1]+f[n][0][1][1]+f[n][1][0][1]+f[n][1][1][1];
printf("%lld\n",ans%mo);
return 0;
}
总结
DP问题的常见套路:先搞出个效率低下的DP,然后优化优化再优化。