6730. 【2020.06.17省选模拟】T1 普及良

题目

---

正解

毒瘤DYP随便AC的题。

先考虑没有问号的时候怎么做。
手玩一下，模拟一下操作的过程，可以发现长这样：
维护一个栈，每次加入一个数进去，并且选择是否和整个栈中的数合并。
为了方便操作，考虑两个两个加进去（不然状态数会变得很多）。
对于一个栈，可以发现实际上它对后面的数的贡献相当于一个函数：$G(x,0/1)$，表示如果新加进来一个数$0$或$1$，会生成什么样的数。
加入两个数，要么两个都是直接加入栈中，要么先加一个和栈内元素合并。两个操作都可以比较方便地从旧函数运算得到新函数。
于是设DP：$f_{i,0/1,0/1}$表示加入了前$i$个数，后面加入$0$或$1$之后就变成$0$或$1$，是否可能得到。

有问号怎么做呢？
如果硬是套上面的做法，发现这会算重。因为一种方案可能会通过多种操作得到结果。
或者也可以用另一种方式来解释这种现象：在上面的转移中，就算没有遇到问号，一次转移也会分裂成两个状态，这两个状态继承了同样的方案数，这就自然会算重。
接下来就如DYP所言，将若干个状态“绑”在一起。
具体是什么呢，用个$4$位的二进制状态，分别表示对于后面两维取$00,10,01,11$时，$f_{i,0/1,0/1}$等于什么。
设$g_{i,S}$表示处理完前$i$个数，状态为$S$的方案数。可以发现如果不遇到问号，转移到的新状态是唯一的。
具体处理的时候，可以对于每个状态先预处理一下后面加入两个数之后，会变成哪个状态。用位运算乱搞即可。

gmh77提供了一种绝妙的理解方法：
可以认为当前的状态是不确定的，但是它们共用一个方案数。这就好比薛定谔的猫，真实的状态处于量子态，如果不去进行观测就不知道是什么，只能将若干个小状态的集合看做一个整体转移。

这就是传说中的——DP套DP……

---

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define mo 998244353
#define ll long long
int n;
int p[N];
char str[N];
int s[N];
int to[16][2][2];
int f[N][16];
void add(int &a,int b){a=(a+b)%mo;}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("junior.in","r",stdin);
	freopen("junior.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%s",str);
		for (int i=0;i<8;++i)
			p[i]=str[i]-'0';
		for (int i=0;i<16;++i)
			for (int s1=0;s1<2;++s1)
				for (int s2=0;s2<2;++s2){
					int j=0;
					for (int k=0;k<2;++k){
						j|=(i>>s1+k*2&1)<<0+p[k+s2*2]*2;
						j|=(i>>s1+k*2&1)<<1+p[k+s2*2+4]*2;
						j|=(i>>p[s1+s2*2]+k*2&1)<<0+k*2;
						j|=(i>>p[s1+s2*2+4]+k*2&1)<<1+k*2;
		//				f'[0][p[k+s2*2]]|=f[s1][k];
		//				f'[1][p[k+s2*2+4]]|=f[s1][k];
		//				f'[0][k]|=f[p[s1+s2*2]][k];
		//				f'[1][k]|=f[p[s1+s2*2+4]][k];
					}
					to[i][s1][s2]=j;
				}
		scanf("%s",str+1);
		n=strlen(str+1);
		for (int i=1;i<=n;++i)
			s[i]=(str[i]=='?'?-1:str[i]-'0');
		memset(f,0,sizeof f);
		f[0][1+8]=1;
		for (int i=0;i+2<=n;i+=2){
			for (int j=0;j<16;++j){
				if (s[i+1]!=1 && s[i+2]!=1) add(f[i+2][to[j][0][0]],f[i][j]);
				if (s[i+1]!=0 && s[i+2]!=1) add(f[i+2][to[j][1][0]],f[i][j]);
				if (s[i+1]!=1 && s[i+2]!=0) add(f[i+2][to[j][0][1]],f[i][j]);
				if (s[i+1]!=0 && s[i+2]!=0) add(f[i+2][to[j][1][1]],f[i][j]);
			}
		}
		ll ans=0;
		for (int j=0;j<16;++j){
			if (s[n]!=1 && (j>>(0+1*2)&1)) 
				ans+=f[n-1][j];
			if (s[n]!=0 && (j>>(1+1*2)&1)) 
				ans+=f[n-1][j];
		}
		printf("%lld\n",ans%mo);
//		f[0][0][0]=f[0][1][1]=1;
//		for (int i=0;i+2<=n;i+=2)
//			for (int k=0;k<2;++k){
//				f[i+2][0][p[k+s[i+2]*2]]|=f[i][s[i+1]][k];
//				f[i+2][1][p[k+s[i+2]*2+4]]|=f[i][s[i+1]][k];
//				f[i+2][0][k]|=f[i][p[s[i+1]+s[i+2]*2]][k];
//				f[i+2][1][k]|=f[i][p[s[i+1]+s[i+2]*2+4]][k];
//			}
//		printf("%d\n",f[n-1][s[n]][1]);
	}
	return 0;
}