【线性代数（1）】二阶三阶不等式

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1. 数学与线性代数中的部分区别

• 在数学中：
  $2*3 = 3*2$
  $ab = ab$
  $\frac{1}{a}$

• 在线性代数中
  $AB != BA$
  $! \frac{1}{a}$

• 特别注意：0在线性代数中有多层含义

  ① 代表数字0

  ② 代表矩阵0

  ③ 代表0向量

2.方程组

小例子
$\begin{cases} 5x+6y=7 \\ 9x+4y=3 \end{cases}$

• 解方程初步
  $\begin{cases} x= \frac{7*4 - 6*3}{5*4-6*9} \\ y= \frac{3*5 - 7*9}{5*4-6*9} \end{cases}$
• 定义一个新运算

$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\\ \end{vmatrix}= ad-cb$

• 使用新运算求解

$\begin{cases} x =\frac{\begin{vmatrix}7 & 3 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5 & 9 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}} \\ y= \frac{\begin{vmatrix}3 & 9 \\ 7 & 5\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5 & 9 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}} \end{cases}$

3. 二阶行列式

特征：2行2列共4个元素$a_{ij}$，其中i表示行标，j表示列标

可以使用下列式子进行表达，运算时对角线相乘后进行减法处理

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

比如
$\begin{vmatrix}爱 & 辈 \\ 子 & 你 \\ \end{vmatrix}= 爱你一辈子$

4. 三阶行列式

先来个小例子

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 8 \end{vmatrix}= 1*5*9+2*6*7 +4*8*3-3*5*7-2*4*9-1*6*8$

计算方式（图片来源于百度）

5. 排列

（1）定义：由 1,2,3，…，n 组成的一个有序数组，叫做n级排列

• 注意： 3145是一个排列吗？

• 考察的知识点对应就是上面的…，就是中间的数字一个也不能少，（中间不能缺数），所以3145不是一个排列

（2）n级排列方式：$n(n-1)...3*2*1 = n！$

（3）逆序：比较大的数排在了较小数的前面，比如：4213

（4）逆序数：逆序的总数，数逆序数是要从第一个数开始数后面有几个比其小的，切记顺序，不能乱来，用 N() 表示

• （比如4213，4后面有3个比其小的数，2后面有1个，1后面没有，所以总共有4个）

（5）奇/偶排列：如果逆序数的为奇数就是奇排列，是偶数就是偶排列

（6）标准排列（自然排列）：$N(1,2,3,...,n) = 0$

（7）倒序排列： $N(n, n-1,...,3,2,1) = \frac{n(n-1)}{2}$

（8） 对换：交换两个数，

• 比如：$N(54123) = 4+3+0 = 7$ 奇排列

• 1和2对换 $N(54213) = 4 + 3 + 1 = 8$ 偶排列

（9）结论：一个排列经过一次对换，奇偶性改变一次

（10） 推广：如果一个排列做奇次性对换，性质发生改变；如果是偶次性对换，性质不变,也就是‘奇变偶不变’

6. 定理

最后一部分为了方便日后的翻阅，将定理都放置在最后一部分

定理1：在n级排列中，奇排列和偶排列各占 $\frac{n!}{2}$

这一节的内容是基础知识的讲解，为了引出下部分的n阶行列式