【線性代數（4）】行列式按行展開，異乘變零，拉普拉斯定理

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1餘子式

定義：去掉指定元素所在的行和列後構成的行列式，用$M_{ij}$表示。比如下面取第三行第二列元素2的餘子式；第一行第四列3的餘子式
$D = \begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 5 &6 &6\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } M_{32} = \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 5 &6 &6\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } M_{14} = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3\\ 5 &5 &6\end{vmatrix}$

2 代數餘子式

先解釋一下餘子式三個字的意思：“餘”是指去掉指定元素所在行列後剩下的部分，“子”說明留下的是原有的子集，‘式’指定剩下部分的性質，還是一個行列式

代數餘子式：公式爲$A_{ij} = (-1)^{ij}M_{ij}$，就是在餘子式前面加上“代數”兩個字，也就代表着$(-1)^{ij}$符號的意思

3 按行展開(降階)

定理（按照某行（列）展開）： $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+......+a_{in}A_{in}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+......+a_{nj}A_{nj}$

其中：$a_{ij}$是指某行的元素（j = 1,2,3,…n）; $A_{ij}$就是該元素自己的代數餘子式（j = 1,2,3,…n），對應等式中間的部分，表示按行展開

$a_{ij}$是指某列的元素（i = 1,2,3,…n）; $A_{ij}$就是該元素自己的代數餘子式（i= 1,2,3,…n），對應等式後面的部分，表示按列展開

舉個小例子：將下面行列式按照第一行進行展開
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\\ 2 &3 &5\end{vmatrix} = 1*(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0\\3 &5\end{vmatrix} + 1*(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 2 &5\end{vmatrix} + 2*(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = 5-0-4 =1$

注意：在選擇展開的時候，要選擇0多的行或者列進行展開，這樣就可以大大減少計算量，比如上面的行列式直接選擇第二行進行展開，結果如下

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\\ 2 &3 &5\end{vmatrix} = 1*(-1)^{2+2} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 &5\end{vmatrix} =1$

4 異乘變零定理

定義：某行（列）元素與另一行（列）元素的代數餘子式乘積之和爲0

證明如下：假設進行第四行和第1行的代數餘子式進行乘積之和計算，那麼展開後的和就是將原行列式的第一行的元素替換成第四行元素行列式的值（這樣該行列式按照第一行展開後的內容就和剛剛的結果對應上了），而此時行列式的第一行和第四行相同，行列式的值就爲0，那麼第四行和第1行的代數餘子式進行乘積之和也就爲0

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix} = 9*A_{11}+9*A_{12}+9*A_{13}+10*A_{14} = \begin{vmatrix}9 & 9 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix} = 0$

對於其它行和另外行元素的代數餘子式乘積之和也是一樣，故得出異乘變零的定理

5 拉普拉斯定理

基礎概念：k階子式， k階餘子式，k階代數餘子式，下面以一個四階行列式來舉例：

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix}$

拉普拉斯是可以按照多行進行展開的，之前介紹的都是某行某列（單一的）進行展開，其中2階子式就是指取定兩行兩列，交集的部分（比如這裏取前兩行和前兩列,，可以有很多取法），對應的不在這兩行兩列的部分就是餘子式，前面加上符號就是代數餘子式了（符號的取值是行和列數的相加）
$2階子式： \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } 2階餘子式：\begin{vmatrix}5 & 4 \\ 9 & 10\end{vmatrix} \text{ } \text{ } 2階代數餘子式：(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}5 & 4 \\ 9 & 10\end{vmatrix}$

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素組成的所有的k階子式與代數餘子式乘積之和就是行列式的值

小例子：計算下面行列式的值
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 0& 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0& 0\\ 1 &2 &3 & 4&5\\ 1&1&1&1&1\\6 &6 &8&3&1\end{vmatrix}$

採用拉普拉斯定理，取定2行，選擇前兩行和前兩列，結果就爲
$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{vmatrix} \text{ } \text{ } + \text{ } \text{ } (-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}3 & 4 &5 \\ 1 & 1&1\\ 8&3&1\end{vmatrix} \text{ } \text{ } =-2 -1\begin{vmatrix}4 & 5 \\ 3 & 1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}3 & 5 \\ 8 & 1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}3 & 4 \\ 8 & 3\end{vmatrix} =-5$

6 行列式相乘

注意： 同階行列式才能用，運算的過程是前面的行列式的每行元素與後面行列式的每列元素相乘後相加，如下
$\begin{vmatrix}1 & 1 &1 \\ 2 & 0&0\\ 0&0&3\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}1 & 2&3 \\ 1 & 3&2\\ 3&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1*1+1*1+1*3 & 1*2+1*3+1*2 &1*3+1*2+1*1 \\ 2*1 & 2*2&2*3\\ 3*3&3*2&3*1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 7 &6 \\ 2 & 4&6\\ 9&6&3\end{vmatrix}$

小例子：（注意是同階行列式相乘）

$\begin{vmatrix}1 & 2 &1 \\ 2 & 1&1\\ 1&1&2\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}1 & 0&2\\ 0 & 1&0\\ 2&0&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2&3\\ 4 & 1&5\\ 5&1&4\end{vmatrix}$

如果是不同階的行列式，分別計算出相應的值，再相乘即可

至此行列式按行展開部分的內容梳理完畢，接下來就是行列式計算的實操