【线性代数（4）】行列式按行展开，异乘变零，拉普拉斯定理

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1余子式

定义：去掉指定元素所在的行和列后构成的行列式，用$M_{ij}$表示。比如下面取第三行第二列元素2的余子式；第一行第四列3的余子式
$D = \begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 5 &6 &6\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } M_{32} = \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 5 &6 &6\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } M_{14} = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3\\ 5 &5 &6\end{vmatrix}$

2 代数余子式

先解释一下余子式三个字的意思：“余”是指去掉指定元素所在行列后剩下的部分，“子”说明留下的是原有的子集，‘式’指定剩下部分的性质，还是一个行列式

代数余子式：公式为$A_{ij} = (-1)^{ij}M_{ij}$，就是在余子式前面加上“代数”两个字，也就代表着$(-1)^{ij}$符号的意思

3 按行展开(降阶)

定理（按照某行（列）展开）： $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+......+a_{in}A_{in}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+......+a_{nj}A_{nj}$

其中：$a_{ij}$是指某行的元素（j = 1,2,3,…n）; $A_{ij}$就是该元素自己的代数余子式（j = 1,2,3,…n），对应等式中间的部分，表示按行展开

$a_{ij}$是指某列的元素（i = 1,2,3,…n）; $A_{ij}$就是该元素自己的代数余子式（i= 1,2,3,…n），对应等式后面的部分，表示按列展开

举个小例子：将下面行列式按照第一行进行展开
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\\ 2 &3 &5\end{vmatrix} = 1*(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0\\3 &5\end{vmatrix} + 1*(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 2 &5\end{vmatrix} + 2*(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 &3 \end{vmatrix} = 5-0-4 =1$

注意：在选择展开的时候，要选择0多的行或者列进行展开，这样就可以大大减少计算量，比如上面的行列式直接选择第二行进行展开，结果如下

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0\\ 2 &3 &5\end{vmatrix} = 1*(-1)^{2+2} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 &5\end{vmatrix} =1$

4 异乘变零定理

定义：某行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0

证明如下：假设进行第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和计算，那么展开后的和就是将原行列式的第一行的元素替换成第四行元素行列式的值（这样该行列式按照第一行展开后的内容就和刚刚的结果对应上了），而此时行列式的第一行和第四行相同，行列式的值就为0，那么第四行和第1行的代数余子式进行乘积之和也就为0

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix} = 9*A_{11}+9*A_{12}+9*A_{13}+10*A_{14} = \begin{vmatrix}9 & 9 & 9 & 10 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix} = 0$

对于其它行和另外行元素的代数余子式乘积之和也是一样，故得出异乘变零的定理

5 拉普拉斯定理

基础概念：k阶子式， k阶余子式，k阶代数余子式，下面以一个四阶行列式来举例：

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 8 &9\\ 2 &5 &5 & 4\\ 9&9&9&10\end{vmatrix}$

拉普拉斯是可以按照多行进行展开的，之前介绍的都是某行某列（单一的）进行展开，其中2阶子式就是指取定两行两列，交集的部分（比如这里取前两行和前两列,，可以有很多取法），对应的不在这两行两列的部分就是余子式，前面加上符号就是代数余子式了（符号的取值是行和列数的相加）
$2阶子式： \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } 2阶余子式：\begin{vmatrix}5 & 4 \\ 9 & 10\end{vmatrix} \text{ } \text{ } 2阶代数余子式：(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}5 & 4 \\ 9 & 10\end{vmatrix}$

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素组成的所有的k阶子式与代数余子式乘积之和就是行列式的值

小例子：计算下面行列式的值
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 0& 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0& 0\\ 1 &2 &3 & 4&5\\ 1&1&1&1&1\\6 &6 &8&3&1\end{vmatrix}$

采用拉普拉斯定理，取定2行，选择前两行和前两列，结果就为
$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{vmatrix} \text{ } \text{ } + \text{ } \text{ } (-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}3 & 4 &5 \\ 1 & 1&1\\ 8&3&1\end{vmatrix} \text{ } \text{ } =-2 -1\begin{vmatrix}4 & 5 \\ 3 & 1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}3 & 5 \\ 8 & 1\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}3 & 4 \\ 8 & 3\end{vmatrix} =-5$

6 行列式相乘

注意： 同阶行列式才能用，运算的过程是前面的行列式的每行元素与后面行列式的每列元素相乘后相加，如下
$\begin{vmatrix}1 & 1 &1 \\ 2 & 0&0\\ 0&0&3\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}1 & 2&3 \\ 1 & 3&2\\ 3&2&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1*1+1*1+1*3 & 1*2+1*3+1*2 &1*3+1*2+1*1 \\ 2*1 & 2*2&2*3\\ 3*3&3*2&3*1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 7 &6 \\ 2 & 4&6\\ 9&6&3\end{vmatrix}$

小例子：（注意是同阶行列式相乘）

$\begin{vmatrix}1 & 2 &1 \\ 2 & 1&1\\ 1&1&2\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}1 & 0&2\\ 0 & 1&0\\ 2&0&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2&3\\ 4 & 1&5\\ 5&1&4\end{vmatrix}$

如果是不同阶的行列式，分别计算出相应的值，再相乘即可

至此行列式按行展开部分的内容梳理完毕，接下来就是行列式计算的实操