【刷题LeetCode】奇妙动态规划——最长有效括号

动态规划的重点推导出状态转移方程

题目描述

先来看下这个题目描述：

给定一个只包含 ‘(’ 和 ‘)’ 的字符串，找出最长的包含有效括号的子串的长度。
示例
输入: “)()())”
输出: 4
解释: 最长有效括号子串为 “()()”

参阅官方题解中「方法2-动态规划」

题解-初步理解

• 初始化dp数组，dp[0]*len(s)
• dp[i]表示以该位元素结尾的最长有效子字符串的长度
• 在遍历字符串的时候，只要该位是左括号，就保持dp[i] = 0
• 从后向前推导dp之间的状态转移方程，假设我们现在位于i == 5
  
• 更新i = 4的位置为2
• 接下来要判断位是有效子括号对前面那位，即i = 2，发现这也是一对有效子括号
  
• 那么与5对应的左括号一定不在这个有效对中咯，继续向前寻找，发现dp[0]=0，所以最终有效括号即为这两对dp[2]+dp[4]=4

这个示例没有找到前面所对应的与最后一位匹配的左括号，但是可以帮助我们先理解状态数组，以及如何寻找与i对应的位置，即减去内部的有效子串dp[i-1]，我们再看一个示例：

题解-更进一步

“()((())”

• 初始化这个dp数组，先填入不「镶嵌」的有效子括号对。

• 现在我们来观察i = 3，已知基础长度为2，更新dp[6]为2
• 在上一状态中，我们知道i = 3和i =6中还夹了一对有效子串，并存储在i = 5中，因此
  dp[i] = 2 + dp[i-1]，因此dp[5]更新为4.
  
  
• i = 2时为0，因此i = 6保持不变，依然为4。

题解-最终推导

现在来看当查找外部时为右括号的情况

“()(())”

• 状态转移方程变成
  dp[i] = 2 + dp[i-1] + dp[i-dp[i-1]-2]
• 我们用这个方程求解一下dp[1]
  dp[1] = 2 + dp[0] + dp[1-dp[0]-2] = 2 + 0 + dp[-1]
  dp[-1]不存在，因此为0，最后dp[1] = 2
• 你以为结束了么？No，这里存在一个问题，就是在python中dp[-2]是倒数第2个元素，本例中dp[-2] = 2
• 所以我们要加入一个限制条件，即被查找元素的值一定要大于等于0

代码实现

class Solution2:
    """动态规划 i-dp[i-1]-1是与当前）对称的位置"""
    def longestValidParentheses(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        if n == 0:
            return 0
        dp = [0]*n
        for i in range(len(s)):
            if s[i] == ')' and i-dp[i-1]-1 >= 0 and s[i-dp[i-1]-1]=='(':
                dp[i] = 2 + dp[i-1] + dp[i-dp[i-1]-2] 
        return max(dp)

另一种神奇而被人喜欢的方法

虽然动态规划很厉害，但我个人还是很喜欢方法4…

class Solution4:
    """正向逆向相结合的方法
    当右括号个数 > 左括号个数的时候，直接将"左括号个数"、"右括号个数"重新初始化为0
    逆向遍历时，当右括号 < 左括号个数，直接将"左括号个数"、"右括号个数"重新初始化为0
    时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
    """
    def longestValidParentheses(self, s: str) -> int:
        n, left, right, maxlength = len(s), 0, 0, 0
        # 正序遍历
        for i in range(n):
            if s[i] == '(':
                left += 1
            else:
                right += 1
            if left == right:
                maxlength = max(maxlength,2*right)
            elif right > left:
                left = right = 0
        # 反序遍历
        left = right = 0
        for i in range(n-1,-1,-1):
            if s[i] == '(':
                left += 1
            else:
                right += 1
            if left == right:
                maxlength = max(maxlength,2*left)
            elif right < left:
                left = right = 0
        return maxlength

感觉就是思考能简单则简单哈哈