算法提高 概率計算（動態規劃）

試題 算法提高 概率計算

資源限制
時間限制：1.0s 內存限制：256.0MB
問題描述
　　生成n個∈[a,b]的隨機整數，輸出它們的和爲x的概率。
輸入格式
　　一行輸入四個整數依次爲n，a，b，x，用空格分隔。
輸出格式
　　輸出一行包含一個小數位和爲x的概率，小數點後保留四位小數
樣例輸入
2 1 3 4
樣例輸出
0.3333
數據規模和約定
　　對於50%的數據，n≤5.
　　對於100%的數據，n≤100,b≤100.
　　
　題解思路：
　題目就是從a到b中挑n個數，使得這n個數字的和爲x。那麼所求的概率就是所有挑的種數除以總的方案數，總的方案數顯然爲 (a-b+1)^ n 。注意：不能把可行的方案數求出來然後除以總的方案數，因爲總的方案數可能高達 100^ 100 ，是個超級的大數了，當然可以通過大數的除法解決這一問題（請看我的另一篇博文 >< 大數四則運算），但是代碼可能多一倍。推薦的做法是，在每次求得方案數就除以 a-b+1 ，因爲要選n個數，所以總共除了 n次，正好滿足要求。
　本題有遞推解法和遞歸解法，本文用的是遞歸解法，遞推解法請看https://blog.csdn.net/go_accepted/article/details/57105651

當選第n次數的時候，要求挑的數的總和爲X，如果第n-1 次數的總和(記爲m)加上
[a,b]中的一個數正好爲X，那麼就可以在第n次湊滿X。就這樣一直往前推，如果推到第0次
的時候和爲0，那麼是符合條件的，其他情況：n爲0但是left爲整數（還沒湊滿X）或者n不
爲0，但是left爲0（已經湊滿了X，但是還要挑數，顯然也不會符合條件），這些情況要立
即剪枝，返回0.然後配合記憶化搜索，當dp[n][m] 已經計算過了，後邊就可以直接用，因
爲 a到b之間的數可以隨意挑，不是總共只能挑一次。

狀態： dp[n][m]  挑n次數，湊滿m的概率 dp[n][X]就是答案
狀態轉移：
for (int i = A; i <= B; i++)
		dp[num][left] += dfs(num - 1, left - i);

代碼如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int N, A, B, X;
float dp[101][10001];

float dfs(int num, int left) {	//還需要挑num個數，湊滿left
	if (num==0&&left == 0)	//滿足條件
		return 1;
	if (num <= 0 || left <= 0)	//均不滿足條件
		return 0;

	if (dp[num][left] != -1)	//記憶化搜索
		return dp[num][left]/(B-A+1);

	dp[num][left] = 0;
	for (int i = A; i <= B; i++)
		dp[num][left] += dfs(num - 1, left - i);

	return dp[num][left]/(B-A+1);	//注意這裏！！！
}

int main() {
	scanf("%d%d%d%d", &N, &A, &B, &X);
	for (int i = 0; i <= N; i++)
		for (int j = 0; j <= X; j++)
			dp[i][j] = -1;

	float ans=dfs(N, X);
	
	printf("%.4f", ans);
	return 0;
}