關係傳遞閉包Warshall算法之思想的一種解說
周曉煒
（西安郵電學院計算機系網絡0407班 西安 710121）
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摘要：Warshall算法是求二元關係傳遞閉包的一種高效的算法。在左孝凌等編著的《離散數學》中提到了該算法，但並未對此算法作出解釋，本文對該算法的思想作出一種比較通俗的解說。
關鍵詞：Warshall算法；矩陣；Floyd算法
1、引言
Warshall在1962年提出了一個求關係的傳遞閉包的有效算法。其具體過程如下，設在n個元素的有限集上關係R的關係矩陣爲M：
（1）置新矩陣A=M;
（2）置k=1;
（3）對所有i如果A[i,k]=1，則對j=1..n執行：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];
（4）k增1;
（5）如果k≤n，則轉到步驟（3），否則停止。
所得的矩陣A即爲關係R的傳遞閉包t(R)的關係矩陣。
在左孝凌等編著的《離散數學》中提到了該算法，但並未對此算法作出解釋。下面本文將對該算法的思想作出一種比較通俗的解說。
2、對Warshall算法的解說
設關係R的關係圖爲G，設圖G的所有頂點爲v1,v2,…,vn，則t(R)的關係圖可用該方法得到：若G中任意兩頂點vi和vj之間有一條路徑且沒有vi到vj的弧，則在圖G中增加一條從vi到vj的弧，將這樣改造後的圖記爲G’，則G’即爲t(R)的關係圖。G’的鄰接矩陣A應滿足：若圖G中存在從vi到vj路徑，即vi與vj連通，則A[i,j]=1，否則A[i,j]=0。
這樣，求t(R)的問題就變爲求圖G中每一對頂點間是否連通的問題。
定義一個n階方陣序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)，每個方陣中的元素值只能取0或1。A(m)[i,j]=1表示存在從vi到vj且中間頂點序號不大於m的路徑（m=1..n），A(m)[i,j]=0表示不存在這樣的路徑。而A(0)[i,j]=1表示存在從vi到vj的弧，A(0)[i,j]=0表示不存在從vi到vj的弧。
這樣，A(n)[i,j]=1表示vi與vj連通，A(n)[i,j]=0表示vi與vj不連通。故A(n)即爲t(R)的關係矩陣。
那麼應如何計算方陣序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)呢？
很顯然，A(0)=M（M爲R的關係矩陣）。
若A(0)[i,1]=1且A(0)[1,j]=1，或A(0)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於1的路徑，此時應將A(1)[i,j]置爲1，否則置爲0。
一般地，若A(k-1)[i,k]=1且A(k-1)[k,j]=1，或A(k-1)[i,j]=1，當且僅當存在從vi到vj且中間頂點序號不大於k的路徑，此時應將A(k)[i,j]置爲1，否則置爲0（k=1..n）。用公式表示即爲：
(k)[i,j]=(A(k-1)[i,k]∧A(k-1)[k,j])∨A(k-1)[i,j] i,j,k=1..n
這樣，就可得計算A(k)的方法：先將A(k)賦爲A(k-1)；再對所有i=1..n，若A(k)[i,k]=1（即A(k-1)[i,k]=1），則對所有j=1..n，執行：
(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]
但這與前述Warshall算法中的第（3）步還有一定距離。若將上式改爲：
A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k)[k,j] （即把A(k-1)[k,j]改爲A(k)[k,j]）
就可將上標k去掉，式子就可進一步變爲：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j]
這樣可以只用存儲一個n階方陣的空間完成計算，且與前述Warshall算法中第（3）步的式子一致。那麼，可不可以把A(k-1)[k,j]改爲A(k)[k,j]呢？答案是肯定的。下面將證明在計算A(k)的過程中A(k-1)[k,j]與A(k)[k,j]相等（A(k)被賦初值A(k-1)後）。考察計算A(k)的方法 只有當i=k時A(k)[k,j]的值纔有可能改變，此時將式A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]中的i換爲k，得A(k)[k,j]←A(k)[k,j]∨A(k-1)[k,j]，對某一j，執行該式的賦值操作前A(k)[k,j]=A(k-1)[k,j]，因爲計算A(k)開始時A(k)被賦爲A(k-1)，故它們相或的結果等於A(k-1)[k,j]，故賦值操作不改變A(k)[k,j]的值。這樣，就沒有操作會改變A(k)[k,j]的值，故A(k-1)[k,j]與A(k)[k,j]相等。
綜上，就可得到計算A(n)的算法，且該算法與前述的Warshall算法完全一致。
由上面的分析，不難看出，Warshall算法類似於求圖中每對頂點間最短路徑的Floyd算法。其實，用Floyd算法也能求關係的傳遞閉包，方法爲令關係R的關係圖G中的每條弧的權值都爲1，這樣得一有向網G1，設G1的鄰接矩陣爲D(-1)（若vi無自迴路，則D(-1)(i,i)=∞），對G1用Floyd算法求其每對頂點間最短路徑，得結果矩陣D(n-1)。因若G中vi與vj連通，當且僅當D(n-1)[i,j]≠∞，故將矩陣D中的∞都改爲0，其它值都改爲1，得矩陣A，則矩陣A即爲t(R)的關係矩陣。Floyd算法和Warshall算法的時間複雜度都爲O(n3)，但明顯用Floyd算法求關係的傳遞閉包繞了彎子。
參考文獻：
[1]左孝凌，李爲鑑，劉永才，《離散數學》，上海：上海科學技術文獻出版社，1982
[2]嚴蔚敏，吳偉民，《數據結構 C語言版》，北京：清華大學出版社，1997