一 几个概念：
最优化问题：有n个输入，它的解由这n个输入的一个子集组成，这个子集必须满足某些事先给定的条件，这些条件称为约束条件，满足约束条件的解称为问题的可行解。满足约束条件的可行解可能不止一个，为了衡量这些可行解的优劣，事先给出一定的标准，这些标准通常以函数的形式给出，这些标准函数称为目标函数，使目标函数取得极值的可行解成为最优解，这类问题称为最优化问题。
二 最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解的过程往往可以划分为若干个阶段，每一个阶段的决策仅依赖前一阶段的状态，由决策所采取的动作使状态发生转移，成为下一个阶段的依据。从而，一个决策序列在不断变化的状态中产生。这个决策序列产生的过程称为多阶段决策过程。
在每一个阶段的决策中有一个赖以决策的策略或目标，这种策略或目标是由问题的性质和特点所确定，通常以函数的形式表示并具有递推关系，称为动态规划函数。
多阶段决策过程满足最优性原理：无论决策过程的初始状态和初始决策是什么，其余决策必须相对于初始决策所产生的当前状态，构成一个最优决策序列。
如果一个问题满足最优性原理通常称此问题具有最优子结构性质。
三 特征
我们知道动态规划是求解全局最优解的有效方法，一般来说能用动态规划算法求解的问题具有以下两个显著特称：
-
具有最优子结构性质，也就是说可以递归的定义最优解。
-
能够分解为相互重叠的若干自问题。
-
最优解中也包含其子问题的最优解。
四 设计方案
动态规划法设计方案
-
分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题；
-
分析：分析问题是否满足最优子结构性质，找出动态规划函数递推式；
-
求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
五 01揹包问题
0/1揹包问题中，物品i或者被放入揹包，或者不被放入揹包，设Xi表示物品i装入揹包的情况，则当Xi=0时，表示物品i没有被装入揹包，Xi=1时，表示物品i被装入揹包。根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：
图 1 约束条件
图2 目标函数
01揹包的状态转换方程f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j的揹包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了揹包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入揹包中吗？
六 动态规划法解决方案
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的揹包，如何让揹包里装入的物品具有最大的价值总和
|
name |
weight |
value |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
a |
2 |
6 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
|
b |
2 |
3 |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
|
c |
6 |
5 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
11 |
|
d |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
10 |
|
e |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
表10/1揹包问题动态规划法
表1采用自底向上自左向右的方式生成的。
e1表示在揹包容量为1的情况下仅仅放入物品e的价值，因容量1<4因此价值为0；依此类推当揹包容量为4时，单元格e4的价值为6。容量继续上涨也只能放置e，因此价值持续为6。
d行可参照递推式f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }如下描述
-
i<=5时，d行表格价值与e行相同；
-
i>=6时，比如第6行，选取Max{f[1,1]+4,f[1,6]}即Max{e1+4, e6}=Max{4, 6} = 6;依此类推d9=Max{f[1,4]+4,f[1,59}=10;
依次类推可计算c/b/a的值,然后根据最大价值返算最优路径。
d1表示揹包容量为1的情况下放置物品d和e后的价值，因e的重量为4>1，且d的重量为5>1因此价值为0。直至第5列(不包括d5)d行表格的内容与e行相同，
七 程序实现C＃
代码段1 测试函数
class MainClass
{
public static void Main (string[] args)
{
Obj[] objs = new Obj[4];
objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };
Console.WriteLine ("Dynamicprogramming Model:");
dynamicprogramming d = new dynamicprogramming (objs, 10);
int price = d.Execute ();
d.Printing (price);
//Console.Read();
}
}代码段2 实现函数
public class dynamicprogramming
{
/// <summary>
/// 存储动态规划的递推数据
/// m_V[i][j]表示前i个物品放入容量为j的揹包获得的最大价值
/// 其中第0行作为初始化，表示不放入物品时的价值；
/// 第0列作为初始化，表示容量为0时能放入物品的价值；
/// </summary>
private int[,] m_V;
/// <summary>
/// 物品数量
/// </summary>
private int m_n;
/// <summary>
/// 揹包容量
/// </summary>
private int m_w;
public Obj[] objs {
get;
set;
}
public dynamicprogramming (Obj[] objs, int w)
{
if (objs == null) {
return;
}
m_n = objs.Length;
this.objs = objs;
m_w = w;
m_V = new int[m_n + 1, m_w + 1];
for (int i = 0; i < m_w+1; i++) {
m_V [0, i] = 0;
}
for (int i = 0; i < m_n+1; i++) {
m_V [i, 0] = 0;
}
}
public int Execute()
{
for (int r = 1; r <= m_n; r++) {
for (int w = 1; w <= m_w; w++) {
if (w < objs[r - 1].Weight) {
m_V[r, w] = m_V[r - 1, w];
} else {
int tmp = m_V [r - 1, w - objs [r - 1].Weight] + objs [r - 1].Price;
m_V [r, w] = m_V [r - 1, w] > tmp ? m_V [r - 1, w] : tmp;
}
}
}
//求装入揹包的物品
int weight = m_w;
for (int i = m_n; i > 0; i--) {
if (m_V[i, weight] > m_V[i - 1, weight]) {
objs [i - 1].Selected = true;
weight -= objs [i - 1].Weight;
}
}
return m_V[m_n, m_w];
}
public void Printing(int price)
{
Console.Write("<");
for (int i = 0; i < objs.Length; i++)
{
Console.Write(objs[i].Selected ? "1 " : "0 ");
}
Console.WriteLine(">, price: " + price );
}
}输出结果：
注：上述程序使用FreeBSD下Mono开发。