前言：
在第本系列第六篇中，我們講解了一下相對來講最普通的不定積分和定積分的問題，相信大家對積分已經有了大概的瞭解了，可是仍有一些小問題，比如如何計算多個變量的積分，比如二重積分、甚至三重三重積分呢？本講中，我將做詳細講解。
本期內容
首先複習一下一元的定積分、然後講解二重積分，如果可能，講解三重積分。
複習定積分（單變量）
在之前，先複習一下之前學習的內容。使用matlab求解定積分的步驟大概如下：
- 定義符號變量（syms關鍵字）
- 定義內聯函數（inline函數）
- 使用matlab內置函數進行計算定積分或者不定積分（使用int函數，具體求解定積分還是不定積分，根據參數的數量決定）
我們都知道：定積分是求解一個圖形與座標軸圍成的面積。而今天我們需要深入理解一下：定積分是求解兩條曲線之間圍成的面積，如果只有一個公式，比如x，我們可以理解成 x-0，y=x 這個函數減去了 y=0這個常數函數，或者說，上面函數與x軸圍成的面積減去了下面函數與x軸圍成的面積（並且這個面積在x軸上方是正的，下方是負的），這樣我們就可以推廣，假設我們現在有兩條曲線，一個是sinx，一個是
PS: 上圖的代碼和講解如下
%% 目標圖像
clc;clear all; % 清除原先的東西
x = 0:0.01:pi; % x的範圍是0-pi，以0.01爲一個小分割點細分出一個範圍
y1 = sin(x); % sinx
y2 = exp(x); % e^x
figure; % 弄一個figure的框體
hold on; % 保持這個窗體，保證後面的內容都畫在了上面，hold off解除
subplot(221); % 開闢子窗體，221:共2行2列，裏面的第一個
fill(x,y1,'r'); % 畫圖並填充顏色，變量是x，函數是y1，顏色是r，紅色
title('y=sinx');% 設置標題，必需先fill，才能添加標題，否則會失敗
subplot(222); % 開闢子窗體，222，共2行2列，裏面第二個
fill(x,y2,'b'); % b 藍色
title('y=e^x');
subplot(223); % 開闢子窗體，223，共2行2列，裏面第三個
fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],'g');
% 兩個函數直接填充顏色，每一個方括號代表一個函數的內容
title('兩個函數中間的部分');
hold off;
OK，那麼我們就可以很容易的使用int()函數算出這樣一個定積分，代碼如下：
%% 對上面的函數進行計算定積分
syms x;
f = 'exp(x) - sin(x)';
res_int = int(f, x, 0, pi);
disp(res_int);
上面左邊是我手算結果，右邊是matlab計算結果，可見我算的還是很準的哈哈哈哈哈哈哈。
二重積分
上面複習了定積分的計算和一般概念，下面我們看二重積分，先了解下二重積分是什麼吧：
二重積分的一個概念是求體積（還有其他的，比如薄片質量等，在這裏先不談，先說體積的問題），那麼明確概念其實就不難了，定積分求面積、二重積分求體積，那麼這個體積是哪裏的體積呢？
如圖，粉紅色的是z=f(x,y)的函數圖像，下面是地面的陰影部分，紅色的是邊界，這個體積就是粉色的頂部與底面陰影之間的一個曲頂柱體的體積，那這個體積怎麼求呢？
在定積分中，我們把整個面積分成了無數個小面積，計算後累加，同樣的，在二重積分中，我們也採取同樣的方法，我們把這個柱體切成一個一個的小柱體，就像圖中的那個黃色柱體一樣，假設我們把整個底面分成了無數份，每一份的底面積都無限接近於0，假設這個底面積是d
並且我們很容易發現，積分的區間其實就是底面，被積函數是曲面的公式。公式中各個符號在下圖中體現：
現在，計算一個例子給大家看，假設底面如圖所示（灰色陰影部分）：
先積分x(Y型)時區域可表示爲：Dx = {(x,y)|0<=y<=1, y<=x<=1}。
先積分y(X型)時區域可表示爲：Dy = {(x,y)|0<=y<=x, 0<=x<=1}。
下面我們以X型爲例，使用matlab計算曲面爲 f(x,y) = xcos(y)的曲頂柱體的體積：
詳細的代碼以及註釋見下方：
%% 計算二重積分
clear all;
f = @(x,y)x.*cos(y); % 定義一個函數句柄，兩個變量分別是x,y
% 這樣定義函數句柄時，需要在所有的運算前加一個.（表示對應元素各自計算，不按照矩陣的規則）
ymax = @(x) x; % 根據0<=y<=x處，右方的y=x反解出y，
res = integral2(f,0,1,0,ymax);
% 計算二重積分的函數
% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)
disp(res);
最後，讓我們欣賞一下這個曲面的形狀吧：
代碼如下：
%% 看一看這個曲面吧
[x,y] = meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);
% 設置x和y的區間，以及細分程度
z = (x.*cos(y)); % 使用一個z來代表這個函數
mesh(x,y,z) % 畫出二維曲面圖像
title('x*cos(y)')
那麼，今天就先到這裏吧，三重積分留到下次在講解，謝謝觀看！
今日小結
今天我們學到了如下的知識：
- 複習了之前學習的定積分、不定積分的內容
- 學習了二重積分的概念，以及應用的大概場景：求曲頂柱體體積，平面薄片質量（底面換位薄片，被積函數即薄片面密度的函數）等。
- 學會了如何在一個figure裏面繪製多個圖像
- 學會了如何在matlab中繪製圖像、對目標區域填充顏色並命名標題
- 學會了怎麼使用matlab的integral2計算二重積分
- 學會了怎麼在matlab中聲明（定義）一個函數句柄，或者說創建一個多元函數，以及怎麼反解一個函數中某個變量（y = @(x) x ，此處函數是y=x），其實說白了，反解函數就是定義函數句柄。
- 學會了怎麼在matlab中繪製二維曲面的圖像。
大家下期再見！！