[編程之美] 2.4 1的個數

本節給出的題目是：

給定一個十進制整數N，寫下從1開始，到N的所有整數，然後數一下其中出現的所有“1”的個數。

例如：

N = 2，寫下1， 2。出現1個“1”。

N = 12，寫下1， 2， 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。這樣，1的個數是5。

（1）寫一個函數f(N)，返回1到N之間出現的“1”的個數。

（2）滿足條件f(N) = N的最大的N是多少。

書中給出的解法一是一般人看到這題就會想到的辦法，依次遍歷1到N的所有數，計算每個數字中的1的個數，然後累加。當然，這樣的結果是時間複雜度很差。

解法二首先按照N的位數來進行分類討論，然後再對各個位可能出現1的情況進行計算。

當N是1位數時：

比如N = 5，那麼，從1到5中只有個位可能出現1，而且只有1次，因此，對1位數就有，當N = 0時，f(N) = 0，當N>=1時，f(N) = 1。

當N是2位數時：

比如N = 30，那麼，十位和個位都可能出現1，個位出現1的情況有1，11，21，即個位出現1的次數等於N的十位上的數字，十位出現1的情況有10~19，爲10，總共出現1的個數是3 + 10 = 13。

比如N = 31，4 + 10 = 14。

也就是，對於某一位來說，如果該位爲0，那麼，在該位可能出現1的情況就是該位以前的數從0一直到該位以前的數減1，也就是該位以前的數乘以該位所在位的基。

如果該位爲1，那麼，除了上面爲0的情況，再加上該位爲1，並且該位之後的數從0到該位之後的數，也就是上面爲0的值加上該位之後的數再加1。

如果該位大於1，那麼，該位可能出現1的情況就是該位以前的數從0到該位以前的數，也就是該位以前的數加1，然後乘以所在位的基。

從上面分析，可以很容易得到下面的程序：

long sum1s(long n)
{
	long icount = 0;
	long ifactor = 1;
	long ilowernum = 0;
	long icurrnum = 0;
	long ihighernum = 0;

	while(n / ifactor) {
		ilowernum = n - (n / ifactor) * ifactor;
		icurrnum = (n / ifactor) % 10;
		ihighernum = n / (ifactor * 10);

		switch(icurrnum) {
			case 0:
			    icount += ihighernum * ifactor;
			    break;
			case 1:
			    icount += ihighernum * ifactor + ilowernum + 1;
			    break;
			default:
			    icount += (ihighernum + 1) * ifactor;
			    break;
		}
		ifactor *= 10;
	}

	return icount;
}

關於問題2，有些還沒想明白，有空再看。