采样方法调研

参考

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采样在特征学习中是重要的：论述采样在特征学习中的重要性，有实验证明

机器学习采样方法大全

采样方法(Sampling Method)

不错的讲义：以下基础部分主要参考这个文献

蒙特卡洛采样：蒙特卡洛采样基础参考这部分

Machine Learning_ A Probabilistic Perspective：MH算法的有效性证明参见本书24.3.6

马尔可夫链及吉布斯抽样 入门详解(Markov Chain Monte Carlo and Gibbs Sampling)：这个对于Gibbs采样的想法说得很清楚

 

动机

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给定某个分布，如何生成足够多的样本？实际上，这是一个中间问题，因为有很多应用问题需要这一步进行近似推断。

我们更需要关注如何应用采样方法解决实际问题，而不是算法的证明。站在巨人的肩膀上，先理解如何熟练应用。一开始想着做本质改进，一般连最基础的理解都达不到。

 

函数变换

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如果$u\sim U(0,1)$则$f^{-1}(u)\sim f$，理由如下：
$P(f^{-1}(u)<x)=P(u<f(x))=f(x)$

即，$f^{-1}(u)$的概率分布函数为$f$，概率密度函数为$f^{\prime}$.

 

拒绝采样

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对于p(z)，假设其非正规化版本$\tilde{p}(z)$更容易得到。我们找到一个常数$k$和一个已知分布$q(z)$使得总有
$\tilde{p}(z)\leq kq(z)$

那么，我们可以通过重复以下步骤进行采样：

• 生成一个$q(z)$的样本$z_0$
• 生成一个$U(0,kq(z_0))$的样本$u_0$
• 如果$u_0\leq \tilde{p}(z_0)$就保留$z_0$，作为一个所求样本，否则舍弃$z_0$，继续上述步骤

 

重要性采样

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应用在对随机变量期望的估计。期望为

一般对分布$p(z)$采取$L$个样本$z^{(l)}, l=1, \cdots, L$，使用

进行估计。

但是，我们可以使用另外更加容易采样的分布$q(z)$来做估计。对$q(z)$采取$L$个样本$z^{(l)}$，然后使用下式

 

蒙特卡洛采样

这里我们只简单表达它的思想和算法，证明去看Machine Learning_ A Probabilistic Perspective

马尔科夫蒙特卡洛采样算法（MCMC）的基本想法是，找到转移概率，使得所采样分布为对应马尔科夫链的平稳分布。

MH采样算法

如果分布$p(x)$满足
$p(x)t(x^{\prime}|x)=p(x^{\prime})t(x|x^{\prime})$

时，$p(x)$就是转移概率$t(x^{\prime}|x)$对应的马尔科夫链的平稳分布。

但是，这样的转移概率分布是不容易的，我们使用一个先验的转移概率分布

设$\tilde{p}(x)$为非正规化分布，选择一个先验的转移概率分布$p(x^{\prime}|x)$，通过一个接受率$r$来进行修正。

Gibbs采样算法

对于$n>1$元分布$p(x_1, \cdots, x_n)$，可以使用本身构造转移概率，得到Gibbs采样算法