P2401 不等数列

P2401 不等数列

传送门

思路：这个数据$k<n\leq1e3$。显然可以考虑$dp$。

令$dp[i][j]$表示前$i$个数有$j$个小于号的排列数。

假设我们已知前$i-1$个数所有情况。

接下来我们需要插入第$i$个数，我们有$i$个位置插入。

对于最左边和最右边，显然是增加一个大于号和小于号。

对于其他位置：1.插入到大于号的位置：显然小于号增加一个$(x>y)\rightarrow(x<i>y)$

2.插入到小于号的位置：$(x<y)\rightarrow (x<i>y)$，大于号增加一个。

因此小于号的个数只会是非减的。

于是有$dp[i][j]=dp[i-1][j]\times (j+1)$

$(j+1)$表示有$(j+1)$个位置插入后小于号的数目不变，即最左边和$j$个大于号的位置。

$2.dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times(i-j)$。表示$(i-j)$位置插入后小于号个数增加一个，$(i-[(j-1)+1])=(i-j)$，有$(j-1)+1$个位置是小于号个数不变。

则另外$(i-j)$个位置是使小于号加1.

综上$dp[i][j]=dp[i-1]\times(j+1)+dp[i-1][j-1]\times(i-j)$

时间复杂度:$O(kn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=2015;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int dp[N][N],n,k; 
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=min(i-1,k);j++)
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]*(j+1)+dp[i-1][j-1]*(i-j))%mod;
	printf("%d\n",dp[n][k]); 
	return 0;
}