Number.378——有序矩陣中第K小的元素

題目鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/

給定一個 n x n 矩陣，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩陣中第 k 小的元素。
請注意，它是排序後的第 k 小元素，而不是第 k 個不同的元素。

matrix = [
[ 1, 5, 9],
[10, 11, 13],
[12, 13, 15]
],
k = 8,
返回 13。

參考題解的二分法：
矩陣的從左到右和從上到下都是有序的，利用這個性質，解題方法就非常巧妙了。
引用官方的一張圖：

在題目說的矩陣中，可以發現，每個元素mid的坐上角的元素都是小於等於該元素mid，而matrix[0][0] <= mid <= matrix[len-1][len-1]，我們可以統計小於mid的數的數量，然後根據結果進行區間縮小：

• 如果小於mid的數的數量大於k，即表示mid的取值太大，要縮小一點
• 如果小於mid的數的數量小於k，即表示mid的取值太小，要擴大一點
• 最後，left就是所要求的值，因爲當區間不能再變化時，left所指的值就是num == k時的值

那麼該如何統計小於mid的數的數量呢？就是checkSum函數所做的事情：
我們從左下角第一個元素開始遍歷，從這裏遍歷的好處就是很容易統計小於mid的數的個數。當matrix[i][j]<=mid時，i表示的本來是行數，但這裏也表示第j列小於mid的數的個數，要加1，因爲是從0開始計數的; 當j每次加以後，i的層數也要繼續加。參考上圖就很容易明白。

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int length = matrix.length;
        int left = matrix[0][0], right = matrix[length - 1][length - 1];
        while (left < right){
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (checkSum(matrix, mid, length, k)){  // 如果該中值左側的數量大於等於k
                right = mid;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    public boolean checkSum(int[][] matrix, int mid, int length, int k){
        int i = length - 1, j = 0, num = 0;
        while (i >= 0 && j < length){
            if (matrix[i][j] <= mid){
                num += i + 1;   // j 每次加 1 也就要再加相應的 i 層
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return num >= k;
    }
}