Number.378——有序矩阵中第K小的元素

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素。

matrix = [
[ 1, 5, 9],
[10, 11, 13],
[12, 13, 15]
],
k = 8,
返回 13。

参考题解的二分法：
矩阵的从左到右和从上到下都是有序的，利用这个性质，解题方法就非常巧妙了。
引用官方的一张图：

在题目说的矩阵中，可以发现，每个元素mid的坐上角的元素都是小于等于该元素mid，而matrix[0][0] <= mid <= matrix[len-1][len-1]，我们可以统计小于mid的数的数量，然后根据结果进行区间缩小：

• 如果小于mid的数的数量大于k，即表示mid的取值太大，要缩小一点
• 如果小于mid的数的数量小于k，即表示mid的取值太小，要扩大一点
• 最后，left就是所要求的值，因为当区间不能再变化时，left所指的值就是num == k时的值

那么该如何统计小于mid的数的数量呢？就是checkSum函数所做的事情：
我们从左下角第一个元素开始遍历，从这里遍历的好处就是很容易统计小于mid的数的个数。当matrix[i][j]<=mid时，i表示的本来是行数，但这里也表示第j列小于mid的数的个数，要加1，因为是从0开始计数的; 当j每次加以后，i的层数也要继续加。参考上图就很容易明白。

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int length = matrix.length;
        int left = matrix[0][0], right = matrix[length - 1][length - 1];
        while (left < right){
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (checkSum(matrix, mid, length, k)){  // 如果该中值左侧的数量大于等于k
                right = mid;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    public boolean checkSum(int[][] matrix, int mid, int length, int k){
        int i = length - 1, j = 0, num = 0;
        while (i >= 0 && j < length){
            if (matrix[i][j] <= mid){
                num += i + 1;   // j 每次加 1 也就要再加相应的 i 层
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return num >= k;
    }
}