【计数 dp】A000_LC_表示数字的最少运算符（记忆化（有一部分待证明)）

一、Problem

给定一个正整数 x，我们将会写出一个形如 x (op1) x (op2) x (op3) x … 的表达式，其中每个运算符 op1，op2，… 可以是加、减、乘、除（+，-，*，或是 /）之一。例如，对于 x = 3，我们可以写出表达式 3 * 3 / 3 + 3 - 3，该式的值为 3

在写这样的表达式时，我们需要遵守下面的惯例：

1. 除运算符（/）返回有理数。
2. 任何地方都没有括号。
3. 我们使用通常的操作顺序：乘法和除法发生在加法和减法之前。
4. 不允许使用一元否定运算符（-）。例如，“x - x” 是一个有效的表达式，因为它只使用减法，但是 “-x + x” 不是，因为它使用了否定运算符。

我们希望编写一个能使表达式等于给定的目标值 target 且运算符最少的表达式。返回所用运算符的最少数量。

输入：x = 3, target = 19
输出：5
解释：3 * 3 + 3 * 3 + 3 / 3 。表达式包含 5 个运算符。

提示：

2 <= x <= 100
1 <= target <= 2 * 10^8

二、Solution

方法一：记忆化搜索

思路

答案一定有解：因为我们可以使用 target 个 x/x 相加：x/x + x/x + … + x/x，一个比较聪明的方案是先利用乘法 × 快速地将数值接近 target，然后就是讨论边界啦：

• s = tar，返回结果
• s > tar，明显需要用减法将 s 递减，s -= x/x + … + x/x
• s < tar，s += x/x + x/x + … x/x 或者 s += x - (x/x + … + x/x)

接下来就是定义记忆化搜索的状态了：

• 定义状态：
  • $f[cur]$：即 dfs(cur) 表示凑够数值 cur 所需要的最少运算符
• 思考初始化：
  • $f[0:target] = 0$
• 思考状态转移方程：
  • $f[i]$，根据上面的情况写代码即可
• 思考输出：$f[0]$ 因是记忆化搜索是自底向上的

class Solution {
public:
    unordered_map<long, long> f;
	long dfs(int x, int re) {
		if (re < x)  	return min(2*re-1, 2*(x-re)); //剩下的re比x还要小，那么直接用re个x/x或者用x减去(x-re)个 x/x
		if (re == 0) 	return 0;
		if (f[re] != 0) return f[re];

		long p = log(re)/log(x), sum = pow(x, p), t = sum * x - re;
		long ans = dfs(x, re - sum) + p;
		if (t < re)
			ans = min(ans, p+1 + dfs(x, t));
		return f[re] = ans;
	}
    int leastOpsExpressTarget(int x, int target) {
    	return dfs(x, target);
    }
};

这里关于为什么 sum * x - re < re 就严格代表 sum > re 有待证明，会的人欢迎给出证明

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log_xtar)$，
• 空间复杂度：$O(n)$，