數學運算行程問題

一、基本知識點：

1、基本公式：距離=速度×時間

2、相遇追及問題：

   相遇距離=（大速度+小速度）×相遇時間

   追及距離=（大速度-小速度）×追及時間

3、環形運動問題：

   環形周長=（大速度+小速度）×相向運動的兩人兩次相遇的時間間隔

   環形周長=（大速度-小速度）×同向運動的兩人兩次相遇的時間間隔

4、流水行船問題：
   順流路程=順流速度×順流時間=（船速+水速）×順流時間

   逆流路程=逆流速度×逆流時間=（船速-水速）×逆流時間

5、電梯運動問題：

   能看到的電梯級數=（人速+電梯速度）×沿電梯運動方向運動所需時間

   能看到的電梯級數=（人速-電梯速度）×逆電梯運動方向運動所需時間

6、鐘面問題（此類問題很多可以轉化爲追及問題）

   （1）假設時鐘一圈是12格，則時針每小時轉1格，分針每小時轉12格。

   （2）鐘面上每兩格之間爲30°，時針與分針成某個角度一般都有對稱的兩種情況。

   （3）時針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
二、例題和解題思路
1、甲、乙兩車同時從A、B兩地出發相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇後兩車仍以原速繼續行駛，並且在到達對方出發點後，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點相距多少千米？
解析：先畫示意圖：

可以看到它們到第二次相遇時共走了3個AB全程。當甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，因此，我們可以理解爲乙車一共走了3個64千米，再由上圖可知：乙車一共走過的路程減去一個48千米後，正好等於一個AB全程。
①AB間的距離是  64×3－48＝192－48＝144（千米）.
②兩次相遇點的距離爲144—48－64＝32（千米）.
  

2、甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發生故障，修車用了1小時.在出發4小時後，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度爲乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那麼，甲、乙二人的速度各是多少？
解析： 甲的速度爲乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間爲（4—1＋4÷2）＝5小時.這樣就可求出甲的速度.
甲的速度爲：100÷（4－1＋4÷2）＝10O÷5＝20（千米/小時）.
乙的速度爲：20÷2＝10（千米/小時）
.
3、在一條直的公路上，甲、乙兩個地點相距600米，張明每小時行4公里，李強每小時行5公里.8點整，張李二人分別從甲、乙兩地同時出發相向而行，1分 鍾後他們都調頭反向而行，再經過3分鐘，他們又調頭相向而行，依次按照1，3，5，…（連續奇數）分鐘數調頭行走，那麼張、李二人相遇時是8點幾分？
解析 無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000÷60+5000÷60=150（米）.如果兩人一直相向而行，那麼從出發經過600÷150=4（分鐘）兩人相遇.
畫圖可知：在16分鐘（=1+3+5+7）之內兩人不會相遇.在這16分鐘之內，他們相向走了6分鐘（=1+5），反向走了10分鐘（=3+7），此時兩 人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200米，因此，再相向行走，經過1200÷150=8（分鐘）就可以相遇.
所以是600+150×（3+7-1-5）=1200（米）
1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分鐘）
1+3+5+7+8=24（分鐘）
兩人相遇時是8點24分.
  

4、姐弟倆出遊，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走80米後姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上弟弟又轉去找姐姐，碰上姐姐又轉去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米？（ ）
A、600        B、800             C、1200           D、1600
解析：由於小狗的運動規律不規則，但速度保持不變，故求出小狗跑的總時間即可。
由於姐姐和小狗同時出發，同時終止，小狗跑的時間也就是姐姐追弟弟的時間。
這個時間爲80÷（60-40）=4分鐘
小狗跑了150×4=600米
  

5、小明放學後，沿某路公共騎車路線以不變的速度不行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔30分鐘就有輛公共騎車從後面超過他，每隔20分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發一次車？（ ）
A、20          B、24             C、25             D、30
解析：設兩輛車間距爲S。有
S=（V車+V人）×20

S=（V車-V人）×30

求得V車=5V人

故發車間隔爲：T=S/V車=24分鐘
  

6、商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，於是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結果男孩用40秒鐘到達，女孩用50秒鐘到達。則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：

A．80級    B．100級    C．120級    D．140級         

解析；總路程爲“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度爲“男孩或女孩每個單位向上運動的級數”，如果設電梯勻速時的速度爲X，則可列方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得 X=0.5   也即扶梯靜止時可看到的扶梯級數=（2+0.5）×40=100

  

7、甲、乙兩人從400米的環形跑道的一點A背向同時出發，8分鐘後兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那麼，兩人第三次相遇的地點與A點沿跑道上的最短距離是

A．166米    B．176米    C．224米    D．234米      

解析，此題爲典型的速度和問題，爲方便理解可設甲的速度爲X米/分，乙的速度爲Y米/分，則依題意可列方程

8X+8Y=400×3

X-Y=6   （速度差0.1米/秒=6米/分）

從而解得 X=78   Y=72

由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點的最短距離爲176米。

  

8、甲、乙、丙三人沿湖邊散步，同時從湖邊一固定點出發，甲按順時針方向行走，乙與丙按逆時針方向行走，甲第一次遇到乙後1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2/3，湖的周長爲600米，則丙的速度爲；

A．24米／分    B．25米／分    C 26米／分    D．27米／分

『解析』 解題關鍵點爲“相遇問題的核心是‘速度和’的問題”可設甲的速度爲
，則乙的速度爲2x/3，又根據“甲第一次遇到乙後1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘第二次遇到乙”，可知（ ＋2x/3）×（1+1/4＋3+3/4）＝600，則 ＝72，如果設丙的速度爲 ，則有（ ＋ ）×（1+1/4＋3+3/4＋1+1/4）＝600，從而解得 ＝24。

9、某校下午2點整派車去某廠接勞模作報告，往返需1小時。該勞模在下午1點整就離廠步行向學校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學校，於下午2點30分到達。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?

    A．5倍    B．6倍    C．7倍    D．8倍                 （2003年中央B類）

解析， 如果接勞模往返需1小時，而實際上汽車2點出發，30分鐘便回來，這說明遇到勞模的地點在中點，也即勞模以步行速度（時間從1點到2點15分）走的距離和 汽車所行的距離（2點到2點15分）相等。設勞模的步行速度爲A/小時，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程

5/4A=1/4AX   

解得 X=5

所以，正確答案爲A。

  

10、某時刻鐘表時針在10點到11點之間，此時刻再過6分鐘後分針和此時刻3分鐘前的時針正好方向相反且在一條直線上，則時刻爲幾點幾分？

A、10點15分    B、10點19分     C、10點20分    D、10點25分

解析：

設此時刻是10點X分。3分鐘前是10點X-3分；6分鐘後是10點X+6分。

則：10點X-3分時，時針從12點位置上轉過了300°+（X-3）×30°/600

10點x+6分時，分針從12點位置上轉過了(X+6) ×360°

300°+（X-3）×30°/600 - (X+6) ×360°=>X=15

所以選A

注：一般時針問題都有簡便的方法來解

比如此題，可以使用代入法

B,C,D的時刻的3分鐘前都還是10點多，因此時針在鐘面上的10與11之間，而3個時刻6分鐘以後已經至少是25分了，即分針已經在鐘面上的5上或者之後了。而鐘面上10與11之間反過來對應的是4和5之間，所以這三項都不符。選擇A

  

11、有一隻鍾，每小時慢3分鐘，早晨4點30分的時候，把鍾對準了標準時間，則鍾走到當天上午10點50分的時候，標準時間是多少？（ ）

A、11點整       B、11點5分      C、11點10分         D、11點15分

解析：壞表問題的基本解題思路是找準壞表的“標準比”，然後按照比例來計算。

設此時的標準時間爲y時，得到這樣的比較：

            標準鍾                 慢鍾

時刻1：     4+30/60              4+30/60

時刻2：       y                  10+50/60

兩次時間差：  y-(4+30/60)         (10+50/60)-( 4+30/60)

標準比：       60                   57

列出比例關係：y-(4+30/60): (10+50/60)-( 4+30/60) =60：57

解得y=11+10/60，即此時的標準時間爲11時10分。

  

三、練習
1.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇後二人繼續前進，走到對方出發點後立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.

  

2.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長爲385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那麼坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少？

  

3.前進鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運礦石，現有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時出發相向而行，速度分別爲每小時40千米和 50千米，到達目的地後立即返回，如此反覆運行多次，如果不計裝卸時間，且兩車不作任何停留，則兩車在第三次相遇時，距礦山多少千米？

  

4.甲乙兩地有公共騎車，每隔3分鐘就從兩地各發一輛汽車，30分鐘駛完全程。如果車速均勻，一個人坐上午9點的車從甲地開往乙地，一共遇上多少輛汽車？

A  15                  B 18               C 19                D 20

  

5.甲、乙兩人站在勻速上升的自動扶梯從底部向頂部走，甲每分鐘走扶梯的級數是乙的2倍；當甲走了36級到達頂部，而乙走了24級到達頂部。那麼，自動扶梯有多少級露在外面？

A 68                   B 56               C 72                D 85

  

6、繞湖一週是20千米，甲、乙二人從湖邊某一地點同時出發反向而行，甲以每小時4千米的速度每走一小時以後休息5分鐘，乙以每小時6千米的速度每走50分鐘後休息10分鐘，則兩人從出發到第一次相遇用了多少分鐘？

A 120                  B 125              C 130               D 136

  

7、人乘竹排沿江順流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他問快艇員：你後面有輪船開過來嗎？快艇員回答：半小時前我超過一艘輪船。竹排繼續順水漂流了1小時遇到了迎面開來的這艘輪船。那麼快艇靜水速度是輪船靜水速度的幾倍？

A 2             B 2.5              C 3               D 3.5

8、某司機開車從A城到B城。如果按原定速度前進，可準時到達。當路程走了一半時，司機發現前一半路程中，實際平均速度只可達到原定速度的11/13.現在司機想準時到達B城，在後一半的行程中，實際平均速度與原速度之比是（）

A 11：9        B 12：7            C 11：8             D 13：8

9、在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發反向而行，8分鐘後兩人相遇，再過6分鐘甲到B點，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環行一週需要（）？

A 24分鐘       B 26分鐘          C 28分鐘           D 30分鐘

10、一個圓的周長爲1.26米，兩隻螞蟻從一條直徑的兩端同時出發沿圓周相向爬行。這兩隻螞蟻每秒分別爬行5.5釐米和3.5釐米，他們每爬行1秒，3秒，5秒……（連續的奇數），就掉頭爬行，那麼，他們相遇時已爬行的時間是多少秒?()

A 46           B 47               C 48               D 49
非常詳細的解析
以下內容需要回復才能看到
1.解：①A、B兩地間的距離：4×3—3＝9（千米）.

　　  ②兩次相遇點的距離：9－4－3＝2（千米）.

  

2.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.

提示：在這個過程中，對方的車長＝兩列車的速度和×駛過的時間.而速度和不變.

  

3.解：①第三次相遇時兩車的路程和爲：90＋90×2＋90×2＝450（千米）.

　　  ②第三次相遇時，兩車所用的時間：450÷（40＋50）＝5（小時）.

　  　③距礦山的距離爲：40×5—2×90＝20（千米）.

  

4、C解析：乙站在上午8點半到9點半，共發送21輛車，這21輛車也就是甲站九點鐘發出所應遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19輛車。

  

5、C解析：甲乙到達頂部所用的時間之比是36/2:24=3：4

     假設扶梯的速度爲x，那麼36+3x=24+4x，得到x=12，所以扶梯長爲36+3×12=72.

  

6、D 解析：兩人相遇時間要超過2小時，出發130分鐘後，甲、乙都休息完2次，甲已經行了4×2=8千米，乙已經行了6×（130-20）/60=11千米。 相遇還需要（20-8-11）/(4+6)=0.1小時=6分鐘，故兩人從出發到第一次相遇用了130+6=136分鐘。

  

7、C 解析：對於竹排來說，它自身不動，而快艇、輪船都以它們在靜水中的速度向它駛來。快艇半小時走的路程，輪船用了1個半小時。因此快艇靜水中的速度是輪船靜水速度的3倍。

8、A 解析：前一半路程用的時間是原定的13/11.多用了2/11.要想準時到達，後一半路程只能用原定時間的1-2/11=9/11。所以後一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：9。

9、C 解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走了一圈。從出發到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走版權，即從A到B是半圈，A從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環行一週需要14*2=28分鐘。

10、D 解析：半圓周長63釐米。如果螞蟻不掉頭走，用63/(5.5+3.5)=7秒即相遇。由於13-11+9-7+5-3+1=7，所以經過13+11+9+7+5+3+1=49秒，兩隻螞蟻相遇。