数学运算行程问题

一、基本知识点：

1、基本公式：距离=速度×时间

2、相遇追及问题：

   相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

   追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

3、环形运动问题：

   环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔

   环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔

4、流水行船问题：
   顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间

   逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间

5、电梯运动问题：

   能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间

   能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间

6、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）

   （1）假设时钟一圈是12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

   （2）钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

   （3）时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
二、例题和解题思路
1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
解析：先画示意图：

可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。当甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，因此，我们可以理解为乙车一共走了3个64千米，再由上图可知：乙车一共走过的路程减去一个48千米后，正好等于一个AB全程。
①AB间的距离是  64×3－48＝192－48＝144（千米）.
②两次相遇点的距离为144—48－64＝32（千米）.
  

2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？
解析： 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.
甲的速度为：100÷（4－1＋4÷2）＝10O÷5＝20（千米/小时）.
乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）
.
3、在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分 钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？
解析 无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150（米）.如果两人一直相向而行，那么从出发经过600÷150=4（分钟）两人相遇.
画图可知：在16分钟（=1+3+5+7）之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6分钟（=1+5），反向走了10分钟（=3+7），此时两 人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200米，因此，再相向行走，经过1200÷150=8（分钟）就可以相遇.
所以是600+150×（3+7-1-5）=1200（米）
1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分钟）
1+3+5+7+8=24（分钟）
两人相遇时是8点24分.
  

4、姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米？（ ）
A、600        B、800             C、1200           D、1600
解析：由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。
由于姐姐和小狗同时出发，同时终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。
这个时间为80÷（60-40）=4分钟
小狗跑了150×4=600米
  

5、小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？（ ）
A、20          B、24             C、25             D、30
解析：设两辆车间距为S。有
S=（V车+V人）×20

S=（V车-V人）×30

求得V车=5V人

故发车间隔为：T=S/V车=24分钟
  

6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：

A．80级    B．100级    C．120级    D．140级         

解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得 X=0.5   也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100

  

7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是

A．166米    B．176米    C．224米    D．234米      

解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程

8X+8Y=400×3

X-Y=6   （速度差0.1米/秒=6米/分）

从而解得 X=78   Y=72

由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

  

8、甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米，则丙的速度为；

A．24米／分    B．25米／分    C 26米／分    D．27米／分

『解析』 解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为
，则乙的速度为2x/3，又根据“甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙”，可知（ ＋2x/3）×（1+1/4＋3+3/4）＝600，则 ＝72，如果设丙的速度为 ，则有（ ＋ ）×（1+1/4＋3+3/4＋1+1/4）＝600，从而解得 ＝24。

9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?

    A．5倍    B．6倍    C．7倍    D．8倍                 （2003年中央B类）

解析， 如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和 汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程

5/4A=1/4AX   

解得 X=5

所以，正确答案为A。

  

10、某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则时刻为几点几分？

A、10点15分    B、10点19分     C、10点20分    D、10点25分

解析：

设此时刻是10点X分。3分钟前是10点X-3分；6分钟后是10点X+6分。

则：10点X-3分时，时针从12点位置上转过了300°+（X-3）×30°/600

10点x+6分时，分针从12点位置上转过了(X+6) ×360°

300°+（X-3）×30°/600 - (X+6) ×360°=>X=15

所以选A

注：一般时针问题都有简便的方法来解

比如此题，可以使用代入法

B,C,D的时刻的3分钟前都还是10点多，因此时针在钟面上的10与11之间，而3个时刻6分钟以后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的5上或者之后了。而钟面上10与11之间反过来对应的是4和5之间，所以这三项都不符。选择A

  

11、有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少？（ ）

A、11点整       B、11点5分      C、11点10分         D、11点15分

解析：坏表问题的基本解题思路是找准坏表的“标准比”，然后按照比例来计算。

设此时的标准时间为y时，得到这样的比较：

            标准钟                 慢钟

时刻1：     4+30/60              4+30/60

时刻2：       y                  10+50/60

两次时间差：  y-(4+30/60)         (10+50/60)-( 4+30/60)

标准比：       60                   57

列出比例关系：y-(4+30/60): (10+50/60)-( 4+30/60) =60：57

解得y=11+10/60，即此时的标准时间为11时10分。

  

三、练习
1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

  

2.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

  

3.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和 50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？

  

4.甲乙两地有公共骑车，每隔3分钟就从两地各发一辆汽车，30分钟驶完全程。如果车速均匀，一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地，一共遇上多少辆汽车？

A  15                  B 18               C 19                D 20

  

5.甲、乙两人站在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？

A 68                   B 56               C 72                D 85

  

6、绕湖一周是20千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走一小时以后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？

A 120                  B 125              C 130               D 136

  

7、人乘竹排沿江顺流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇员：你后面有轮船开过来吗？快艇员回答：半小时前我超过一艘轮船。竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。那么快艇静水速度是轮船静水速度的几倍？

A 2             B 2.5              C 3               D 3.5

8、某司机开车从A城到B城。如果按原定速度前进，可准时到达。当路程走了一半时，司机发现前一半路程中，实际平均速度只可达到原定速度的11/13.现在司机想准时到达B城，在后一半的行程中，实际平均速度与原速度之比是（）

A 11：9        B 12：7            C 11：8             D 13：8

9、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）？

A 24分钟       B 26分钟          C 28分钟           D 30分钟

10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，他们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就掉头爬行，那么，他们相遇时已爬行的时间是多少秒?()

A 46           B 47               C 48               D 49
非常详细的解析
以下内容需要回复才能看到
1.解：①A、B两地间的距离：4×3—3＝9（千米）.

　　  ②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.

  

2.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.

提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.

  

3.解：①第三次相遇时两车的路程和为：90＋90×2＋90×2＝450（千米）.

　　  ②第三次相遇时，两车所用的时间：450÷（40＋50）＝5（小时）.

　  　③距矿山的距离为：40×5—2×90＝20（千米）.

  

4、C解析：乙站在上午8点半到9点半，共发送21辆车，这21辆车也就是甲站九点钟发出所应遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19辆车。

  

5、C解析：甲乙到达顶部所用的时间之比是36/2:24=3：4

     假设扶梯的速度为x，那么36+3x=24+4x，得到x=12，所以扶梯长为36+3×12=72.

  

6、D 解析：两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲、乙都休息完2次，甲已经行了4×2=8千米，乙已经行了6×（130-20）/60=11千米。 相遇还需要（20-8-11）/(4+6)=0.1小时=6分钟，故两人从出发到第一次相遇用了130+6=136分钟。

  

7、C 解析：对于竹排来说，它自身不动，而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。快艇半小时走的路程，轮船用了1个半小时。因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的3倍。

8、A 解析：前一半路程用的时间是原定的13/11.多用了2/11.要想准时到达，后一半路程只能用原定时间的1-2/11=9/11。所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：9。

9、C 解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。也就是说，两人16分钟走了一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走版权，即从A到B是半圈，A从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14*2=28分钟。

10、D 解析：半圆周长63厘米。如果蚂蚁不掉头走，用63/(5.5+3.5)=7秒即相遇。由于13-11+9-7+5-3+1=7，所以经过13+11+9+7+5+3+1=49秒，两只蚂蚁相遇。