《剑指offer31》：连续子数组的最大和

这是《剑指offer》系列的第一篇，这个系列的文章主要用于记录看书时的一些感想，做个记录。

 

题目

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。例：

思路

这里采用动态规划的思想：

• 第一步：做一个选择，基于这个选择产生一个或多个待解的子问题

这里用函数  表示以第  个数字结尾的子数组的最大和，其中 。注意到函数  的不同取值构成了原题可能解的全集。例：当  的时候，有   。

这里我们选择子数组的结束位置  ，并且假定这个选择是最优解。即：我们假设结束于下标为  的子数组的最大和是原数组中所有子数组的最大和。

选择了结束位置之后，数组下标 6 的右边不用再进行考虑。那么基于  产生子问题  ，意义是结束于下标为   的子数组的最大和。

• 第二步：证明问题具有最优子结构性质，并得到递归式

使用“剪切 - 粘贴”反证法，证明在  的条件下问题具有最优子结构性质：

假设  不是数组区间  内结束于下标为  的子数组的最大和，那么我们将  从  中剪切去掉，并把最优解  粘贴其中得到  ， 则有 ，与“  是最优解”矛盾，故原假设不成立，得证。

这里稍微有点绕，如下图：

这里我们证明的是：  区间在  的时候一定会被 区间包含。

注：这里约束  的意义在于，当子问题的解是负数的时候，即使它是子问题能达到的最大值，也会拖了原问题的后腿，还不如直接等于  。例如  的子问题 ​ ​​​​​​,那结束于下标为  的子数组的最大和应该等于  本身，即  。这是来自于我们定义这个函数时隐含的约束 

由此我们证明了原问题的最优解 “ 结束于下标为  的子数组的最大和 ” 包含了它的子问题 “ 结束于下标为  的子数组的最大和 ” 的最优解。我们称这个问题具有最优子结构。

得到以下递推式：

• 第三步：证明问题具有重叠子问题性质

如果递归算法反复求解相同的子问题，我们称最优化问题具有重叠子问题性质，这里我们采用子问题图来可视化子问题之间的依赖关系，其中节点代表子问题，弧代表调用关系：

例如规模为4的子问题在求解时会调用规模为3、2和1的子问题，而处理规模为3的子问题的时候又会调用规模为2和1的子问题，造成高昂的计算代价。

• 第四步：使用动态规划进行求解

动态规划求解分为带备忘录的自顶向下法和带表格的自底向上法。

以下附上剑指offer提供的自底向上法：

结语

动态规划的题目常见，做多了题，有时候稀里糊涂地套上去试一下能做出来。但一直不懂背后的原理。这篇主要是用《算法导论》里面的分析手法分析了下《剑指offer》里的题，得到了些粗浅的看法，以后还要多加练习。

 

Reference：

《算法导论》p216

《剑指offer》p171