leetcode:叶值的最小代价生成树

题目来源:力扣

题目介绍:

给你一个正整数数组 arr，考虑所有满足以下条件的二叉树：
每个节点都有 0 个或是 2 个子节点。
数组 arr 中的值与树的中序遍历中每个叶节点的值一一对应。（知识回顾：如果一个节点有 0 个子节点，那么该节点为叶节点。）
每个非叶节点的值等于其左子树和右子树中叶节点的最大值的乘积。
在所有这样的二叉树中，返回每个非叶节点的值的最小可能总和。这个和的值是一个 32 位整数。
示例：
输入：arr = [6,2,4]
输出：32
解释：
有两种可能的树，第一种的非叶节点的总和为 36，第二种非叶节点的总和为 32。

审题:

对于该最优性问题, 我们考虑使用动态规划方法解决.

其中状态变量为当前叶节点序列的左右边界, 为了解决每一个子问题, 我们需要确定左右叶子节点的划分.对于叶子节点序列[i, j], 如果我们划分左子树叶子节点为[i, k], 右子树叶子节点序列为[k+1, j], 则通过分别计算左右子树的内部节点之和加上当前根节点值, 我们可以求得叶子节点序列[i, j]在k处划分时内部节点之和. 比较所有划分位置, 我们可以取得内部节点和最小值.

class Solution {
    public int mctFromLeafValues(int[] arr) {
        int[][] S = new int[arr.length][arr.length];
        for(int i = 0; i < arr.length; i++){
            S[i][i] = 0;//如果只有一个节点, 则当前节点是叶节点, 不是内部节点
            //如果只有两个节点, 则分别是左子节点和右子节点, 根节点为左子节点与右子节点之积
            if(i < arr.length-1)
                S[i][i+1] = arr[i] * arr[i+1];
        }
        
        for(int len = 3; len <= arr.length; len++){
            for(int i = 0; i <= arr.length - len; i++){
                int j = i + len-1;
                S[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for(int k = i; k < j; k++){//左子树的最后一个子节点
                    //求的左子树与右子树叶子节点最大值
                    int leftMax = 0;
                    int rightMax = 0;
                    for(int l = i; l <= k; l++)
                        leftMax = Math.max(leftMax, arr[l]);
                    for(int r = k+1; r <= j; r++)
                        rightMax = Math.max(rightMax, arr[r]);
                    S[i][j] = Math.min(S[i][j], leftMax * rightMax + S[i][k] + S[k+1][j]);
                }
            }
        }
        return S[0][arr.length-1];
    }
}

可以将求区间最大值的方法提到外面提前计算, 以减少时间复杂度.

该题目看到有基於单调栈的解法, 时间复杂度可以由$O(N^3)$降低到O(N). 有空我再学习一下.