leetcode: 连续子数组的最大和

题目来源：力扣

题目描述：

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。
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示例1:
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
提示：
1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100
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审题：

该题要求时间复杂度为Ｏ(n)，对于连续子数组最大和问题，使用分治算法时间复杂度为Ｏ(NlgN)，而使用动态规划算法时间复杂度为Ｏ(N)．因此本题考虑使用动态规划算法求解．

接下来分析该问题的最优子结构，假设当前数组a[0:n]的连续子数组最大和为$S_n$, 它与数组a[0:n-1]的连续子数组最大和$S_{n-1}$是否存在某种联系．进一步分析我们发现，由于数组a[0:n]的连续最大和子树组可能出现在数组a[0:n]的中间位置，因此其与a[0:n-1]的连续最大和子树组之间不存在直接的推导关系．由此可见我们从该角度出发无法推导出最优子结构．

上述思路无法进行下去的直接原因在于a[0:n]与a[0:n-1]两个数组之间相差了一个a[n-1]，而由于a[n-1]与a[0:n-1]的连续最大和子数组之间并不存在直接关联,因此无法推导出最优子结构.

在使用动态规划求解最优解问题中,通常涉及作出一个初始选择, 在连续子数组最大和问题中,我们需要确定连续子数组的左右边界.我们可以作出如下初始选择:选择i为连续最大和子数组的右边界,假设当前选择为最优选择,我们使用$S_n$表示以数组元素a[n]结尾的连续子树组最大和.此时我们分析$S_{n-1}$与$S_n$的关系,我们可以推导出:
$if:$ $S_{n-1}>=0$, $S_n = S_{n-1} + a[n]$;
$else:$ $S_{n} = a[n]$

我们需要计算所有$S[1],S[2], ...S[n]$, 选择最大值作为连续子树组的最大和.
注意到在计算$S_n$时,我们需要计算$S_{n-1}$ ,进一步我们为了计算$S_{n-1}$又涉及计算$S_{n-2}$.而在计算$S_{n-1}$时,我们又要再次计算$S_{n-2}$,因此子问题存在重叠.故而应当使用动态规划算法.
我们可以使用自底向上的动态规划算法,依次计算$S[1], S[2], ...S[n]$.

java算法:

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[nums.length-1];
        for(int i = nums.length-2; i >=0 ; i--) {
            nums[i] += Math.max(nums[i+1], 0);
            res = Math.max(res, nums[i]);
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度分析:

从上述代码结构不难发现,该算法的时间复杂度为O(N).我们可是使用动态规划算法的理论进行验证.对于任意动态规划算法,其时间复杂度为一下两项乘积:

1. 算法涉及的子问题个数
2. 在每一步解决子问题时,需要作出的选择.

在上述算法中,子问题个数为N, 我们需要计算S[1], S[2], …S[N].而在解决每一步解决子问题时,我们的选择为1, 例如在计算S[3]时,我们的连续最大和子数组右边界是确定的,我们可以在O(1)的时间判断其左边界与S[2]保持一致还是变为3.因此该算法的时间复杂度为O(N).