目錄
一、STFT
1.基本理論
傅里葉變換隻反映出信號在頻域的特性，無法在時域內對信號進行分析。爲了將時域和頻域相聯繫，Gabor於1946年提出了短時傅里葉變換(short-time Fourier transform
，STFT)，其實質是加窗的傅里葉變換。STFT的過程是：在信號做傅里葉變換之前乘一個時間有限的窗函數 h(t)，並假定非平穩信號在分析窗的短時間隔內是平穩的，通過窗函數 h(t)在時間軸上的移動，對信號進行逐段分析得到信號的一組局部“頻譜”。信號
由上式知，信號
短時傅里葉變換的優缺點：優點是其基本算法即是傅里葉變換，易於解釋其物理意義；缺點是STFT 的窗寬是固定的，不能進行自適應調整。
2.spectrogram函數
function varargout = spectrogram(x,varargin)：用於短時傅里葉變換（STFT）的頻譜圖。
S = SPECTROGRAM(X)，返回由矩陣S中的向量X指定的信號的短時傅立葉變換。默認情況下，X被分成8個有50個重疊的段，每個段用Hamming窗口加窗。用於計算離散傅里葉變換的頻率點的數目等於256或大於段長度的下一次冪的256。如果X不能精確地分成八段，X將被截斷。
S = SPECTROGRAM(X,WINDOW)，當WINDOW是一個向量時，將X分成與WINDOW長度相同的段，然後用WINDOW指定的向量對每個段進行加窗。如果WINDOW是一個整數，函數將X分成長度等於該整數值的段，並用Hamming窗口對每個段進行加窗。如果未指定WINDOW，則使用默認值。
S = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP)，指定相鄰線段之間重疊的NOVERLAP採樣。如果WINDOW是整數，則NOVERLAP必須是小於WINDOW的整數。如果WINDOW是向量，則NOVERLAP必須是小於WINDOW長度的整數。如果未指定NOVERLAP，則使用默認值獲得50個重疊。
S = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP,NFFT)，指定用於計算離散傅里葉變換的頻率點的數目。如果未指定NFFT，則使用默認NFFT。
S = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP,NFFT,Fs)，指定採樣率Fs（Hz）。如果Fs指定爲空，則默認爲1Hz。如果未指定，則使用規範化頻率。
S的每一列包含X的短期、時間局部化頻率含量的估計值。S列中的時間從左到右遞增。頻率從0開始沿行遞增。如果X是一個長度爲NX的覆信號，則S是一個具有NFFT行和k=fix（（NX-NOVERLAP）/（length（WINDOW）-NOVERLAP））列的復矩陣。對於實X，如果NFFT是偶數，S有（NFFT/2+1）行；如果NFFT是奇數，S有（NFFT+1）/2行。
[S,F,T] = SPECTROGRAM(...)，返回頻率向量F和時間向量T，在該向量下計算頻譜圖。F的長度等於S的行數。T的長度爲k（如上定義），其值對應於每個線段的中心。如果沒有提供採樣率，F包含歸一化頻率。
[S,F,T] = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP,F)，計算矢量F中指定的歸一化頻率下的雙面譜圖。F必須至少有兩個元素。
[S,F,T] = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP,F,Fs)，計算矢量F中指定頻率下的雙側頻譜圖。F必須以赫茲表示，並且至少有兩個元素。
[S,F,T,P] = SPECTROGRAM(...)，P是表示每段功率譜密度（PSD）的矩陣。對於實信號，SPECTROGRAM返回每段PSD的單邊修正週期圖估計值；對於覆信號，如果指定了頻率向量，則返回雙邊PSD。
3.頻率分辨率和時間分辨率
3.1分辨率的影響因素
窗口的長度會影響時間分辨率和頻率分辨率。窗口越長，截取的信號越長，時間分辨率越低，頻率分辨率越高；窗口越短，截取的信號越短，時間分辨率越高，頻率分辨率越低。
從定量的角度來看，STFT的時間分辨率取決於平移步長
3.2提高頻率分辨率的方法
利用spectrogram函數自帶兩種提高頻率分辨率的方法
方法1：將小於某個數值的數歸零，提高頻率分辨率。
調用格式：[S,F,T,P] = SPECTROGRAM(...,'MinThreshold',THRESH)；當10*log10(P)的對應元素小於THRESH(以分貝爲單位指定閾值)時，將P的元素設置爲零。
方法2：利用功率譜將能量集中的原理，提高頻率分辨率。
調用格式：[S,F,T,P] = SPECTROGRAM(...,'reassigned')；將每個PSD估計值重新設定爲其重心位置。
二、MATLAB代碼
clc;
clear;
close all;
tic;
%% 產生信號
fs = 1000; % 採樣頻率1KHz
t = 0:1/fs:1-1/fs;
N=size(t,2);
f1=10;
f2=30;
x=3*cos(2*pi*f1*t)+5*sin(2*pi*f2*t);
figure(1);
plot(t,x);
%% 短時傅里葉變換
wlen=500;%設置窗口長度。窗口越長時間分辨率越差，頻率分辨率越好。
hop=1;%每次平移的步長，最小爲1。越小圖像時間精度越好，但計算量大。
x=wkeep1(x,N+1*wlen);%中間截斷
h=hamming(wlen);%設置海明窗的窗長
[B, F, T, P] = spectrogram(x,h,wlen-hop,N,fs); % B是F行T列的頻率峯值，P是對應的能量譜密度
figure(2);
imagesc(T,F,P);
set(gca,'YDir','normal')
colorbar;
xlabel('時間 t/s');
ylabel('頻率 f/Hz');
title('短時傅里葉時頻圖');
toc;參考文獻
[1]宮宇新,何滿潮,汪政紅,等.岩石破壞聲發射時頻分析算法與瞬時頻率前兆研究[J].岩石力學與工程學報,2013,32(4):787-799.