图和图移位算子
- 图被定义为三元组集合：
：
节点 ：
表示
个不同 label 的集合；
边 ：有序对
表示
可以影响
；
权重 ：
是
上的一个数字，表示
影响
的程度。
- 有向图与无向图
在无向图中， 等价于
，且
，在有向图中
是从
指向
的箭头，权重
不一定等于
。
- 带权图与无权图
对于无权图若边之间存在连接，通常认为 的权重是单位 “1”，即
，而带权图上的权重可以根据需要定义为任意值。
- 图的矩阵表示
邻接矩阵： , for all
，对于无向图，
；
节点的度：节点 的度是其所有邻接点的权重之和，即
；
度矩阵：
- 拉普拉斯矩阵
Laplace 矩阵定义为： ；
归一化的邻接矩阵： ，即
；
归一化的 Laplace 矩阵： 。
归一化的原因：1. Express weights relative to the nodes’ degrees ; 2. 算法和计算上的考量。
- 图移位算子(Graph Shift Operators)
图移位算子 可以是图的任何一种矩阵表示，如
、
、
、
等等。
图上的信号
图信号是我们在图上进行信号处理时的对象；
考虑一个有 个节点的图
和其上定义的图移位算子
，那么一个图信号就是一个**向量
**，其中分量
是和图节点
有关的量。为了强调图是信号固有的，可以把信号写成对的形式
；
图移位算子 与信号
的乘法表示信号在图上的扩散，扩散后信号
，分量
，权重越大，扩散输出贡献越大；
信号扩散序列 ，其中
，
[图片上传失败...(image-fd789-1618849866619)]
信号的扩散即信号在图上的传播，扩散一次该信息将被传播到其单跳邻居， 次则传播到
跳邻居。
图卷积滤波器
图卷积滤波器是图信号线性处理的工具。给定图 和移位算子
，以及一系列系数
，则图上的卷积滤波器是
的多项式序列，它由
确定：
滤波器作用到图信号 上：
称 是滤波器
与信号
的图卷积。
实际中 不会取到无穷，图卷积的输出
，图卷积聚集了从局部到全局的信息，是扩散序列元素的线性组合。
[图片上传失败...(image-74e34-1618849866619)]
时序卷积是图卷积的特例
时序卷积输出：
时序信号可表示为线图上的图信号 ：
[图片上传失败...(image-71f446-1618849866619)]
其中 是线图的邻接矩阵：
于是时间序列能够表示为作用在初始信号 上的
的多项式：
卷积运算是输入信号移位的线性组合：
如果设 为任意图移位算子，则可以恢复到图卷积，因此图卷积也可以说是时序卷积的推广：
其中 的含义是信号
在图上经过
跳传播后的信号。
图傅里叶变换
图形傅里叶变换是分析图信息处理的工具。
这里分析的图是对称图(通常为无向图)，即 。设
为
的
个特征值，
为对应的
个单位正交特征向量组，
，令
，
，于是：
图傅里叶变换 ：给定图移位算子 ，图上信号
的傅里叶变换：
图上信号 的傅里叶变换实际上就是
在
特征向量空间的投影运算，称
为信号
的频域表示。
图傅里叶逆变换：给定图移位算子 ，频域信号
的逆傅里叶变换：
显然 。
图滤波器的频率响应(定理)：图卷积滤波器 ，图信号
的滤波表示
，则原信号
的傅里叶变换
和卷积输出信号
的傅里叶变换
之间的关系是：
证明：
，则
，因此滤波输出：
两边用作用：
在图频域，滤波器是对角矩阵 在系数
下的多项式，这样一来原时域信号
上的卷积运算在傅里叶变换下转换为了频域中的点积运算：
其中：
将 定义为图滤波器的频域响应，可以看到频域响应多项式的系数与图滤波器系数相同。需要特别指出的是，频域响应与图是无关的(频域响应不依赖于特定的图)，因此在图滤波器中，图的作用仅仅是确定实例化响应的特征值，当给定一个图，响应在
上被实例化，而
只是个单变量解析函数，它由滤波系数决定。