第二章，导数和微分
第一节 导数概念
一、引例
1. 直线运动的速度
设某质点 ✔ 沿直线运动 ✔
在直线上规定了原点、正方向和单位长度，✔
使直线成为数轴 ✔
此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点 ✔
设，质点于时刻 t 在直线上的位置的座标为 s （简称位置 s）✔
这样，该质点的运动完全由某个函数 s=f(t) 所确定 ✔
此函数对运动过程中所出现的 t 值有定义，✔， 称为 位置函数 ✔
在最简单的情形，该质点所经过的路程与所花的时间成正比 ✔
也就是说，无论取哪一段时间间隔，比值
经过的路程 s / 花费的时间 t
总是相同的。✔，（那么速度是定值 v）✔
这个比值就称为该质点的速度，并且说该质点做匀速运动
如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值会有不同的值，
这样，把比值笼统的称为该质点的速度就不合适了，（但是平均速度知道✔）
而需要按照不同时刻来考虑，那么，这种非匀速运动的质点，
在某一时刻（设为t0）的速度应该如何理解而又如何求得呢？
（求它的前后 t1, t2 速度 v1 v2 ，然后加起来除以2，等于这个点的速度。）
首先，取从时刻 t0 到 t 这样一个时间间隔，在这段时间内， 质点从位置 s0=f(t0)
移动到 s=f(t) 这时由上述式子算得的比值
s-s0/t-t0 = f(t)- f(t0) / t-t0 ✔
可以认为是质点在上述时间间隔内的平均速度
如果时间间隔选的较短，这个比值在实践中也可以用来说明质点在时刻 t0 的速度
（因为 速度 是 连续的，如果加速了， 那么得到 加速前一秒的速度和加速后一秒的速度
加起来除以二，等于加速的时候，的速度，）
但对于质点在时刻 t0 的速度的精确概念来说，这样做是不够的，
而更确切的应该这样： 令 t->t0 ， 取上述式子的极限，如果这个极限存在，设为 v
则 v = lim t->to f(t) - f(t0) / t-t0 ，✔
这时，就把这个极限值 v 称为 质点在时刻 t0 的（瞬时）速度 ✔。。
2.切线问题
圆的切线 可定义为 与曲线只有一个交点的直线 ✔
但是对于其他曲线，用 这个作为切线的定义就不一定合适 ✔
例如，对于抛物线 y=x^2 ，在原点 O 处两个座标轴都符合上述定义
但实际上只有 x轴 是该抛物线在点 O 处的切线，下面给出切线的定义
设有曲线 C 及 C 上的一点 M ，在点 M 外另取 C 上一点 N ,✔，作割线 MN,
当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT
直线 MT 就称为曲线C 在点 M 处的切线 ✔
这里极限位置的含义是 只要弦长 |MN| 趋于零， ∠ MNT也趋于零
现在就曲线 C 为函数 y=f(x) 的图形的情形，来讨论切线问题。✔
设 M(x0，y0) 是曲线 C 上的一个点，✔
则 y0=f(x0) 根据上述定义要定出曲线 C 在点 M 处的切线，
只要定出 切线的斜率就行了。为此，在点 M 外另取C 上的一点 N(x,y)，
于是割线 MN 的斜率为
tan fi = y-y0/x-x0= f(x) - f(x0) / x-x0 ✔
其中 fi 为割线 MN 的倾角，当点 N 沿曲线C趋于点M 时✔
x->x0 . 如果当 x-> x0 时，上述式子的极限存在，设为 k ，则
k= lim x->x0 f(x) - f(x0) / x-x0 ✔ 存在
那么此极限 k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。
这里 k=tan α，其中 α 是切线 MT 的倾角，
于是，通过点 M(x0,f(x0) ) 且以k为斜率的直线 MT 便是
曲线 C 在点 M 处的切线，事实上，由 ∠NMT = fi- α 以及
x->x0 时，fi -> α，可见 x->x0 时，（这时 |MN| ->0）
∠NMT -> 0 ，因此直线 MT 确为 曲线 C 在点 M 处的切线。
二、导数的定义
1.函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度
和切线的斜率都归结为如下的极限：
lim x->x0 f(x) - f(x0) / x-x0 ✔
这里 x->x0 和 f(x) - f(x0) （变化量） 分别是函数
y=f(x) 的自变量的增量 ✔ 和函数的增量 ✔
△x=x-x0
△y=f(x)-f(x0) = f(x0 + △x) - f(x0) .
因为 x->x0 相当于 △x->0 ✔
所以上述式子也可以写成
lim △x->0 △y/ △x 或
lim △x->0 f(x0+ △x) - f(x0) / △x.
在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，
例如电流强度✔，角速度，线密度等✔，都可以归结为
形如上述式子的数学形式，我们撇开这些量的具体意义，抓住
它们在数量关系上的共性，就得出，函数的导数概念。。。✔
定义 设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 ✔
当自变量 x 在 x0 处取得增量 △x （ 点 x0+ △ x 仍然在该邻域内）时，✔
相应的，✔因变量取得增量 △ y = f(x0+ △ x) - f(x0) ✔
如果， △ y 与 △ x 之比。当 △x->0 时的极限存在，
那么称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，✔
并称这个极限为函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数，记为 f'(x0) ✔。。
（大学期末成绩不全来自试卷，试卷要求降低了，考勤平时分也算）
导数研究的是自变量和因变量，变化量之比的极限，相对变化率之比？
即
f ' (x0) = lim △x->0 △y/△x = lim △x->0 f(x0+ △ x) - f(x0) /△x
也可记作
y ' | x=x0 , dy / dx | x=x0 , 或 df(x) / dx | x=x0
函数 f(x) 在点 x0 处可导有时也说成 f(x) 在点 x0 具有导数或导数存在✔
导数的定义式也可取不同的形式，常见的有
在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 “快慢” 问题
在数学上就是所谓函数的变化率问题
导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述✔
指数的增长速度是不同的，✔
前期小于幂函数，后期大于幂函数✔
它撇开了自变量和因变量所代表的的几何或物理等方面的特殊意义
纯粹从数量方面来刻画变化率的本质，
（呃，代数，没有几何，还是结合实际更好理解）
因变量增量与自变量增量之比 △y / △ x
是因变量 y 在 以 x0 和 x0+△x 为断点的区间上的平均变化率 ✔
（变化量除以变化量，看谁变得快么。）
而导数 f ' (x0) 则是因变量 y 在点 x0 处的变化率
一个是区间，一个是时刻么，点，线，面，面除以面？
体积除以体积？
它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，
如果 x0 确定，那么 y0 也确定，只是一个数值，不是变化值
y 在点 x0 处是确定的，没有变化值，有变化率么。。
如果极限不存在，就说函数 y=f(x) 在点 x0 处不可导
如果不可导的原因是由于 △x->0 时，比式 △y/ △x -> ∞
为了方便起见，也往往说函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数为无穷大✔
处处可导，定理，前提条件，
上面讲的是函数在一点处可导，如果函数 y=f(x) 在开区间
I 内的每点处都可导，那么就称函数 f(x) 在开区间 I 内可导 ✔
这时，对于任一 x∈ I , 都对应着 f(x) 的一个确定的导数值，
这样就构成了一个新的函数 ✔
这个函数叫做原来函数 y=f(x) 的导函数 ✔
导函数可看单调性啥的，还要二次导函数。嗯。。
开始导数了。
还有定积分，微积分。嗯。
记作 y ' ， f ' (x) ， dy/dx 或 df(x) / dx ✔
在上述式子中把 x0 换成 x ，即得到导函数的定义式✔
y ' = lim △x->0 f(x+△x) - f(x) / △x
注意 在以上两个式子中，虽然 x 可以取区间I 内的任何数值，
但在极限过程中， x 是常量， △ x （ 即 h） 是变量。。
显然，函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f ' (x0) 就是
导数 f '(x) 在点 x=x0 处的函数值，即
导函数 f ' (x) 简称导数，而 f ' (x0) 是 f(x) 在 x0 处的
导数或导数 f '(x0) 在 x0 处的值。。。有点绕
2. 求导数举例
下面根据导数定义，求一些简单函数的导数，
