第二章，導數和微分
第一節 導數概念
一、引例
1. 直線運動的速度
設某質點 ✔ 沿直線運動 ✔
在直線上規定了原點、正方向和單位長度，✔
使直線成爲數軸 ✔
此外，再取定一個時刻作爲測量時間的零點 ✔
設，質點於時刻 t 在直線上的位置的座標爲 s （簡稱位置 s）✔
這樣，該質點的運動完全由某個函數 s=f(t) 所確定 ✔
此函數對運動過程中所出現的 t 值有定義，✔， 稱爲 位置函數 ✔
在最簡單的情形，該質點所經過的路程與所花的時間成正比 ✔
也就是說，無論取哪一段時間間隔，比值
經過的路程 s / 花費的時間 t
總是相同的。✔，（那麼速度是定值 v）✔
這個比值就稱爲該質點的速度，並且說該質點做勻速運動
如果運動不是勻速的，那麼在運動的不同時間間隔內，比值會有不同的值，
這樣，把比值籠統的稱爲該質點的速度就不合適了，（但是平均速度知道✔）
而需要按照不同時刻來考慮，那麼，這種非勻速運動的質點，
在某一時刻（設爲t0）的速度應該如何理解而又如何求得呢？
（求它的前後 t1, t2 速度 v1 v2 ，然後加起來除以2，等於這個點的速度。）
首先，取從時刻 t0 到 t 這樣一個時間間隔，在這段時間內， 質點從位置 s0=f(t0)
移動到 s=f(t) 這時由上述式子算得的比值
s-s0/t-t0 = f(t)- f(t0) / t-t0 ✔
可以認爲是質點在上述時間間隔內的平均速度
如果時間間隔選的較短，這個比值在實踐中也可以用來說明質點在時刻 t0 的速度
（因爲 速度 是 連續的，如果加速了， 那麼得到 加速前一秒的速度和加速後一秒的速度
加起來除以二，等於加速的時候，的速度，）
但對於質點在時刻 t0 的速度的精確概念來說，這樣做是不夠的，
而更確切的應該這樣： 令 t->t0 ， 取上述式子的極限，如果這個極限存在，設爲 v
則 v = lim t->to f(t) - f(t0) / t-t0 ，✔
這時，就把這個極限值 v 稱爲 質點在時刻 t0 的（瞬時）速度 ✔。。
2.切線問題
圓的切線 可定義爲 與曲線只有一個交點的直線 ✔
但是對於其他曲線，用 這個作爲切線的定義就不一定合適 ✔
例如，對於拋物線 y=x^2 ，在原點 O 處兩個座標軸都符合上述定義
但實際上只有 x軸 是該拋物線在點 O 處的切線，下面給出切線的定義
設有曲線 C 及 C 上的一點 M ，在點 M 外另取 C 上一點 N ,✔，作割線 MN,
當點 N 沿曲線 C 趨於點 M 時，如果割線 MN 繞點 M 旋轉而趨於極限位置 MT
直線 MT 就稱爲曲線C 在點 M 處的切線 ✔
這裏極限位置的含義是 只要弦長 |MN| 趨於零， ∠ MNT也趨於零
現在就曲線 C 爲函數 y=f(x) 的圖形的情形，來討論切線問題。✔
設 M(x0，y0) 是曲線 C 上的一個點，✔
則 y0=f(x0) 根據上述定義要定出曲線 C 在點 M 處的切線，
只要定出 切線的斜率就行了。爲此，在點 M 外另取C 上的一點 N(x,y)，
於是割線 MN 的斜率爲
tan fi = y-y0/x-x0= f(x) - f(x0) / x-x0 ✔
其中 fi 爲割線 MN 的傾角，當點 N 沿曲線C趨於點M 時✔
x->x0 . 如果當 x-> x0 時，上述式子的極限存在，設爲 k ，則
k= lim x->x0 f(x) - f(x0) / x-x0 ✔ 存在
那麼此極限 k 是割線斜率的極限，也就是切線的斜率。
這裏 k=tan α，其中 α 是切線 MT 的傾角，
於是，通過點 M(x0,f(x0) ) 且以k爲斜率的直線 MT 便是
曲線 C 在點 M 處的切線，事實上，由 ∠NMT = fi- α 以及
x->x0 時，fi -> α，可見 x->x0 時，（這時 |MN| ->0）
∠NMT -> 0 ，因此直線 MT 確爲 曲線 C 在點 M 處的切線。
二、導數的定義
1.函數在一點處的導數與導函數
從上面所討論的兩個問題看出，非勻速直線運動的速度
和切線的斜率都歸結爲如下的極限：
lim x->x0 f(x) - f(x0) / x-x0 ✔
這裏 x->x0 和 f(x) - f(x0) （變化量） 分別是函數
y=f(x) 的自變量的增量 ✔ 和函數的增量 ✔
△x=x-x0
△y=f(x)-f(x0) = f(x0 + △x) - f(x0) .
因爲 x->x0 相當於 △x->0 ✔
所以上述式子也可以寫成
lim △x->0 △y/ △x 或
lim △x->0 f(x0+ △x) - f(x0) / △x.
在自然科學和工程技術領域內，還有許多概念，
例如電流強度✔，角速度，線密度等✔，都可以歸結爲
形如上述式子的數學形式，我們撇開這些量的具體意義，抓住
它們在數量關係上的共性，就得出，函數的導數概念。。。✔
定義 設函數 y=f(x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義 ✔
當自變量 x 在 x0 處取得增量 △x （ 點 x0+ △ x 仍然在該鄰域內）時，✔
相應的，✔因變量取得增量 △ y = f(x0+ △ x) - f(x0) ✔
如果， △ y 與 △ x 之比。當 △x->0 時的極限存在，
那麼稱函數 y = f(x) 在點 x0 處可導，✔
並稱這個極限爲函數 y=f(x) 在點 x0 處的導數，記爲 f'(x0) ✔。。
（大學期末成績不全來自試卷，試卷要求降低了，考勤平時分也算）
導數研究的是自變量和因變量，變化量之比的極限，相對變化率之比？
即
f ' (x0) = lim △x->0 △y/△x = lim △x->0 f(x0+ △ x) - f(x0) /△x
也可記作
y ' | x=x0 , dy / dx | x=x0 , 或 df(x) / dx | x=x0
函數 f(x) 在點 x0 處可導有時也說成 f(x) 在點 x0 具有導數或導數存在✔
導數的定義式也可取不同的形式，常見的有
在實際中，需要討論各種具有不同意義的變量的變化 “快慢” 問題
在數學上就是所謂函數的變化率問題
導數概念就是函數變化率這一概念的精確描述✔
指數的增長速度是不同的，✔
前期小於冪函數，後期大於冪函數✔
它撇開了自變量和因變量所代表的的幾何或物理等方面的特殊意義
純粹從數量方面來刻畫變化率的本質，
（呃，代數，沒有幾何，還是結合實際更好理解）
因變量增量與自變量增量之比 △y / △ x
是因變量 y 在 以 x0 和 x0+△x 爲斷點的區間上的平均變化率 ✔
（變化量除以變化量，看誰變得快麼。）
而導數 f ' (x0) 則是因變量 y 在點 x0 處的變化率
一個是區間，一個是時刻麼，點，線，面，面除以面？
體積除以體積？
它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度，
如果 x0 確定，那麼 y0 也確定，只是一個數值，不是變化值
y 在點 x0 處是確定的，沒有變化值，有變化率麼。。
如果極限不存在，就說函數 y=f(x) 在點 x0 處不可導
如果不可導的原因是由於 △x->0 時，比式 △y/ △x -> ∞
爲了方便起見，也往往說函數 y=f(x) 在點 x0 處的導數爲無窮大✔
處處可導，定理，前提條件，
上面講的是函數在一點處可導，如果函數 y=f(x) 在開區間
I 內的每點處都可導，那麼就稱函數 f(x) 在開區間 I 內可導 ✔
這時，對於任一 x∈ I , 都對應着 f(x) 的一個確定的導數值，
這樣就構成了一個新的函數 ✔
這個函數叫做原來函數 y=f(x) 的導函數 ✔
導函數可看單調性啥的，還要二次導函數。嗯。。
開始導數了。
還有定積分，微積分。嗯。
記作 y ' ， f ' (x) ， dy/dx 或 df(x) / dx ✔
在上述式子中把 x0 換成 x ，即得到導函數的定義式✔
y ' = lim △x->0 f(x+△x) - f(x) / △x
注意 在以上兩個式子中，雖然 x 可以取區間I 內的任何數值，
但在極限過程中， x 是常量， △ x （ 即 h） 是變量。。
顯然，函數 f(x) 在點 x0 處的導數 f ' (x0) 就是
導數 f '(x) 在點 x=x0 處的函數值，即
導函數 f ' (x) 簡稱導數，而 f ' (x0) 是 f(x) 在 x0 處的
導數或導數 f '(x0) 在 x0 處的值。。。有點繞
2. 求導數舉例
下面根據導數定義，求一些簡單函數的導數，
