1. 前言
本文只是以計算機算法的角度，對核酸檢測效率的一些思考，期望爲廣大程序員對算法的應用帶來一些啓發與思考。
由於實踐的複雜性(參考鏈接1)，本文中的方法並不一定能應用於實際核酸檢測過程，歡迎提出更好更優的想法一起探討，不過煩請勿槓，槓就是你贏！！
2. 背景
從2019年12月新冠疫情爆發開始，不論各國抗疫表現如何，大規模的核酸檢測，已經成爲了國內外抗疫第一重任。
作爲抗疫最成功的國家之一，對動態清零的執着追求，無疑是我國抗疫的成功的保障。
動態清零是一場與病毒代際傳播的賽跑——對每一起新的本地傳播，搶在病毒代際傳播之前，通過全員核酸和流行病學調查，找出並隔離所有潛在病例和密切接觸者，無疑是阻斷病毒傳播的關鍵。
每一輪核酸檢測，我國都投入了海量的採樣人員、實驗室檢驗人員、志願者和檢測物資，力求在最短的時間內完成全員的核酸檢測。直到當下，實驗室檢驗仍然是大規模核酸檢測的主要瓶頸，畢竟我們可以像全國支援武漢一樣，調集、培訓大量的醫務人員支援一個點的核酸採樣，但是實驗室檢驗的效率不易快速提升，況且大規模核酸檢測結束後，建好的檢測實驗室利用率也不高。
作爲程序員的我們也不難看出——實驗室檢驗明顯是個的低頻的流量突發場景，與其將硬件擴容到峯值，不如從算法上進行優化——如何減少實驗室檢驗的樣本數量和批次，無疑是縮短總檢測時間的關鍵，當然這一切的前提是陽性病例不能漏檢。
核酸的實驗室檢驗是個典型的在m(檢測人數)個元素中找出0~n個值爲True(陽性)的二值過濾求更優解問題。
3. 現有方法
我們先來看看現有檢測方法及優化：
3.1 最標準方法1人1採1檢
如果不做任何優化，就是對集合m的遍歷、比較過程，時間複雜度爲O(m)，這正是最原始的核酸檢測過程——1人1採1檢。
對於100個人，100人個核酸檢測的時間約等於實驗室檢驗100份核酸的時間。
在大規模核酸檢測中，每個城市要在1天之內檢測十萬、百萬的核酸，實驗室檢驗的壓力可想而知。
3.2 10合1混採檢測
在我國實際的大規模排查中，普遍採用了[10合1混採檢測]的方法，即每10人的採樣合併爲一個樣本，只做一次實驗室檢驗，這樣做的好處是潛在病例佔比極低的情況下，極大地減少了實驗室檢驗的工作量：
100人檢驗工作量：100÷10=10樣本
理想情況下(潛在陽性0人)，最少只須檢測10次即可完成100人的全員核酸檢測，即實驗室檢驗量只是原來的十分之一。這無疑是一大突破，極大地降低了核酸檢測的成本，關鍵還在大規模新冠篩查時減少了檢驗的壓力，整體縮短了核酸檢測週期。
當然這樣做也有一定的侷限性——當潛在病例數較多且較分散時，需要展開第二輪檢測：
100人中有1例陽性：第一輪10樣本+第二輪10樣本=20樣本次檢測；
100人中有2例陽性：第一輪10樣本+第二輪10(陽性集中)或20(陽性分散)樣本
100人中有3例陽性：10+(1~3)×10=20~40樣本次檢驗
...
100人中有10例陽性：10+(1~10)×10=20~110樣本次檢驗
可以看出當潛在病例數達到10%時，[10合1混採檢測]不再有優勢，甚至有可能還要多出10%的檢測量，以及多一輪的採集&檢驗。
毋庸置疑的是，在我國動態清零的國情下，本地傳播必然是極少數，每次的潛在病例佔比不超過0.01%，[10合1混採檢測]在大規模核酸檢測中提升了效率，並節省了大量的人力、物力和資金成本。
但是作爲程序員的我們，[10合1混採檢測]是最優的檢測方式麼？
4. 潛在方案
由於核酸檢測過程無法排序、無法像數據庫那樣建索引，因此常規的基於大小比較的查找算法都不合適。那要如何優化檢測效率呢？
4.1 分(3+)層混採檢測
由於核酸檢測類似於二值查找，無法排序、無法像數據庫那樣建索引，因此常規的基於大小比較的查找算法都不合適。
其實[10合1混採檢測]很類似於圖書館的分層檢索——先按類目確定樓層、區域，再按細類確定書架，最後按編號/名稱找到具體的書本。
計算機領域與之對應的方法是分層聚類，比如圖片搜索不可能像數據那樣去建立一維索引，但是可以先用聚類的方式，把圖片從粗到細地爲多個層次的類別(如：上衣->圓領上衣->圓領T裇)，然後經過簡單的幾次與類別特徵進先比較，就能快速縮小搜索範圍。
應用到核酸檢測，如果感染率非常低的情況下，分三輪進先檢測，會得出一個更優的解：
1000人有1例潛在病例：
第一輪100混1：1000÷100=10樣本次
第二輪針對第一輪潛在病例所在的那一組10混1：100÷10=10樣本次
第三輪針對第二輪潛在病例所在組1採1檢：1×10樣本次
三輪一共：10+10+10=30樣本次
1000人有2例潛在病例：
三輪一共：10+10×(1~2)+10×(1~2)=30~50樣本次
1000人有10例潛在病例：
三輪一共：10+10×(1~10)+10×(1~10)=30~210樣本次
1000人有10例潛在病例，10混1檢測：
三輪一共：100+10×(1~10)=110~200樣本次
1000人有100例潛在病例：
三輪一共：10+10×(1~10)+10×(10~100)=120~1110樣本次
不難看出，在潛在病例佔比很小、檢測人數衆多的情況下，分三層檢測需要檢測的樣本數更少。但是它的侷限性在於需要更多的輪次來確定確診病例，且100混1可能會因爲病毒被稀釋太多而檢測不出來。
結論：分(3+)層檢測引入更多的輪次，可行性低
4.2 \(\sqrt{N}\)合一混採檢測
分層檢測有增加輪次的問題，那即使兩輪檢測，[10合1混採檢測]就是最優嗎？
如果限制檢測輪次數爲兩輪，那這個問題，就變成了“X×Y=N，求X+Y最小值”的問題。僅根據小學知識我們就能知道，當X=Y=\(\sqrt{N}\)時，X+Y最小：
圖4.2 求X+Y最小值
也就是說，同樣是兩輪檢測，10合一混採只是一個相對優解，混採批次越接近混採總人數的平方根，總檢測次數越少。比如要對1000人進行檢測，20合一混採檢測效率高於10合一混採檢測，30合一混採檢測效率高於20合一混採，32合一混採檢測檢測效率最高(32*32=1024>1000)。
結論：\(\sqrt{N}\)合一混檢可能更優，但要注意病毒有效濃度的問題，在有效濃度內，批次越接近\(\sqrt{N}\)越優。
4.3 二進制編碼檢測法——小鼠試毒算法
作爲程序員的你，很可能聽過“小鼠試毒算法”：
有 1000 個一模一樣的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒藥。任何喝下一滴毒藥的生物都會在一星期之後死亡。現在我們用小白鼠來做實驗試毒，你只有一個星期的時間，如何檢驗出哪個瓶子裏有毒藥？最少用多少隻小白鼠？
按照大部分人給出的答案，這是個二進制編碼問題，即使用小鼠的生與死當作二進制的0或1，來對藥瓶進行編碼：
瓶子1餵給小鼠1，瓶子2餵給小鼠2，瓶子3餵給小鼠1和小鼠2...
瓶子1：00 0000 0001
瓶子2：00 0000 0010
瓶子3：00 0000 0011
瓶子4：00 0000 0100
瓶子5：00 0000 0101
瓶子6：00 0000 0110
編碼完1000瓶藥水只需要10只小鼠(\(2^{10}\)=1024>1000)。
喂完藥水之後，靜待一週，根據小鼠死亡情況，可以精確推導出第幾瓶藥水有毒。
大規模核酸檢測與“小鼠試毒算法”的場景有一些相同之處，比如單輪檢測週期長，實驗室檢測資源緊張，不同之處在於，被檢者是“藥水”，實驗室檢測的併發能力是“小鼠”，單輪檢測週期是“一星期”。
小鼠實驗的優點是隻需少量的小鼠，一輪就可以精準確定唯一那瓶毒藥。
有幾個致命的缺陷限制了“小鼠試毒算法”的實用性：
- 每隻小鼠要喝下1024/2=512瓶藥水，而小鼠不可能一口氣喝下512瓶甚至100瓶藥水，即使強行灌下，由於毒藥被過度稀釋，小鼠更可能被集體撐死而非中毒身亡。
- 只適用於有0～1瓶毒藥的場景。如果不止或不確定只有1瓶毒藥，那麼整個算法的就幾乎無效了，比如有1～2瓶毒藥，而死了4只小鼠，那這4只老鼠一共喝過24-1=15瓶藥水，這些藥水都得換個方法重測才能確定有幾瓶毒藥毒死了這些老鼠...如果第2n-1瓶藥水有毒，那麼會有大批老鼠陣亡，但是又無法確定第2瓶毒藥，那這2n-1瓶藥水都得重測。
大規模核酸檢測，剛好以上兩個問題特別明顯——不太可能拆分組合數百份樣本而不影響檢測結果，且不清楚每次排查有多少潛在病例。
結論：二進制編碼檢測法不可行
4.4 \(C_{n}^{2}\)混合檢測法
基於對二進制編碼法兩個問題，我們可以使用排列組合法來改進：每份採樣分爲兩份，多份樣本合併進行一次檢驗，將多份樣本與檢驗過程進行不重複地組合。用表格表示如下：
圖4.4.1 \(C_{n}^{2}\)混檢示例圖
如此按排列組合中組合公式，n次結果的組合檢驗能力爲\(C_{n}^{2}\)=\(\dfrac{n!}{2!\times \left( n-2\right) !}\)，6次檢驗可檢測15人，10次檢驗可檢測55人。
通過兩個檢驗陽性結果可以確定唯一的陽性病例：
圖4.4.2 檢驗結果2例陽性可以唯一確定一例陽性病例
而當檢驗結果多餘2例陽性時，也能比較快地鎖定需要下一輪檢測的人員：
圖4.4.3 檢驗結果2例陽性可以圈定3名潛在陽性病例
檢驗結果陽性數與需要第二輪複覈人數的關係，可以用\(C_{m}^{2}\)組合公式計算：
0例檢驗陽性：無陽性病例，皆大歡喜
2例檢驗陽性：C(2,2)=1，代表了1位陽性病例，無須再檢即可精確鎖定
3例檢驗陽性：C(3,2)=3，代表了2～3位陽性病例，需要複查3人
4例檢驗陽性：C(4,2)=6，代表了2～6位陽性病例，需要複查6人
5例檢驗陽性：C(5,2)=10，代表了3～10位陽性病例，需要複查10人
從下表可以看出\(C_{n}^{2}\)混合檢測的適用場景：
羅圖4.4.4 混檢的適用場景
當檢測人數小於200時，\(C_{n}^{2}\)混檢需要比10合1混檢更多的檢驗次數，不太合算；
但是當檢測人數大於210時，\(C_{n}^{2}\)混檢對減少檢驗次數的優勢就開始突顯，並且最大的優點是有望在一輪檢測中，精確鎖定唯一的陽性病例——這點對與時間賽跑的大規模核酸檢測非常有意義！
結論：\(C_{n}^{2}\)混合檢測在檢測人數>200時且潛在病例佔比很少時，有較明顯優勢——能減少檢驗次數和輪次，更快地確定潛在陽性病例！
5. 結語
\(\sqrt{N}\)合一混採檢測理論上更優於10合1混採檢測；如在送檢數超過1000時，加大n合1混採檢測n的大小至32時，檢驗效率最高；
\(C_{20}^{2}\)混合檢測是一種潛在更優的大規模核酸檢測的方法——在送檢數超過200時，比10合1混採檢測檢驗次數更少，確定陽性病例的輪次更少。