匈牙利算法與KM算法

1. 匈牙利算法的概述

   用來解決二分圖中的最優分配問題的算法，也就是圖論中尋找最大匹配的算法。

2. 從實際問題的角度理解（\(\mbox{KM}\)算法）

   1. 第（1）步：找到每個成員的長處，即尋找各個成員完成各任務的最短耗時。將成本矩陣的各行減去該行的最小值，找出各行的“0”；

   2. 第（2）步：找到各任務的最佳人選，即尋找各任務分配給各成員完成的最短耗時。將（1）中處理後的成本矩陣的各列減去該列的最小值，找出各列的“0”；

   3. 第（3）步：成員和任務的禮讓原則。相對不能“將就”的成員和任務優先選擇。

      1. 成員禮讓原則。尋找長處最少的成員，先把他的長處分配給他，因爲長處越多的成員越容易調配。在（2）中處理後的成本矩陣中找到含有“0”最少的行，然後將該行的“0”畫上圈（記爲\(\circledcirc\)），同時由於一個任務同一時刻只能由一個成員完成，故劃去其所在列的其他“0”（記爲\(\phi\)）；
      2. 任務禮讓原則。尋找最佳成員最少的任務，先把它的最佳成員分配給它，原因同（3）。在（3）中處理後的成本矩陣中找到含有“0”最少的列，然後將該列的“0”畫上圈（記爲\(\circledcirc\)），同時由於一個成員同一時刻只能完成一個任務，故劃去其所在行的其他“0”（記爲\(\phi\)）；

   4. 第（4）步：尋找犧牲的成員和任務。方法爲打鉤劃線法。

      1. 打鉤。對（3）中處理後的成本矩陣中不含“\(\circledcirc\)”的行打鉤（尋找犧牲成員\(M_1\)），然後對該行中含有“\(\phi\)”的列打鉤（尋找該成員與其他成員相沖突的任務\(T_1\)），再對該打鉤列中含有“\(\circledcirc\)”的行打鉤（尋找完成該衝突任務\(T_1\)的其他成員\(M_2\)）。若\(M_2\)中還有與其他成員衝突的任務，則重複上述步驟，反之則結束打鉤過程；
      2. 劃線。尋找有任務衝突的所有成員，然後提取出他們無衝突的任務，爲之後的重新分配）做準備。對未打鉤的行（無任務衝突的成員）和已打鉤的列（衝突任務）劃線排除。

   5. 第（5）步：重新調度分配。找到所有有任務衝突的成員，標記出他們的無衝突任務，最後選擇耗時最少的任務作爲“激勵”/“懲罰”因子。在（4）中處理後的成本矩陣中尋找未被劃線元素的最小值，然後對打鉤行減去這個最小值、對打鉤列增加這個最小值。

      1. 對打鉤行減去這個最小值：在增加“0”的同時也能對沖突成員的無衝突任務進行“激勵”。如果這次分配失敗，則下一次分配時這些任務會更先被分配；
      2. 對打鉤列增加這個最小值：在保證任務耗時非負的同時也能對有衝突任務進行“懲罰”。如果這次分配失敗，則下一次分配時這些任務會更後被分配；

   6. 第（6）步：如果出現各行各列都只有一個“\(\circledcirc\)”則說明分配成功，否則分配失敗，重複（4）~（6）。

3. 從圖論理論的角度理解（匈牙利算法）

   1. 專有名詞解釋

      1. 匹配\(\mbox{M}\)：是邊集\(\mbox{E}\)的一個無環子集，且它的任意兩條邊在圖\(\mbox{G}\)中都不相鄰；
      2. \(\mbox{M}\)的飽和頂點\(\nu\)：\(\exists{e}\in{M}\)與頂點\(\nu\)關聯；
      3. \(\mbox{M}\)的非飽和頂點\(\nu\)：\(\forall{e}\in{M}\)不與頂點\(\nu\)關聯；
      4. 最大匹配\(\mbox{M}\)：所有匹配中邊數最多的匹配方案；
      5. 完美匹配\(\mbox{M}\)：某個匹配包含了圖\(\mbox{G}\)中所有的頂點；

   2. 交錯路徑

      \(M\)是圖\(G\)某匹配，若某路徑在\(M\)和\(G-M\)中交替出現，則將這條路徑稱爲\(M\)交錯路徑。

   3. 增廣路徑

      如果一條\(M\)交錯路徑的起點和終點都是\(M\)非飽和頂點，則稱爲\(M\)增廣路徑。

   4. 算法步驟

   5. 我的理解

      1. 算法的目標

         任取一個\(M(X)\)非飽和頂點\(x_0\)作爲“入射源點”，經過或者不經過\(M\)匹配中的“反射”，最後需要找到一個\(M(Y)\)非飽和頂點\(y_0\)作爲“出射終點”，這樣一條“反射光線”被稱爲“\(M\)增廣路徑”。

      2. 算法的遍歷思想

         有點兒類似於層序遍歷的思想。將\(N(S)\)作爲訪問備選方案，將其中已經訪問過的\(Y\)做上標記（用集合\(T\)表示），以便後續不再重複訪問（\(y\in{N(S)-T}\)）。

         在訪問\(Y\)中結點之前必須對\(N(S)\)做判斷，查看是否全被訪問過（即\(N(S)\subseteq{T}\)），而對於每一個被訪問的\(Y\)結點都會判斷其是否屬於\(M(Y)\)飽和頂點：

         1. 如果屬於\(M(Y)\)飽和頂點：將與之\(M\)匹配的\(X_i\)併入\(S\)，並將\(y\)併入訪問標記\(T\)中；
         2. 如果不屬於\(M(Y)\)飽和頂點：必然存在一條增廣路徑\(P(x_0,y_0)\)，\(M=M\oplus{E(P)}\)；

      3. 如何獲取增廣路徑

         可以用\(\mbox{DFS}\)（深度優先搜索）算法。

4. 賦權二部圖最大匹配\(\mbox{Kuhn-Munkres}\)算法

   1. 頂點標號與可行頂點標號

      圖\(G\)的頂點標號\(l\)是從頂點集到正整數集的一個映射。用\(l(\nu)\)爲\(G\)上頂點\(\nu\)的標號，邊\(<\nu_1,\nu_2>\)的權重用\(\omega(\nu_1\nu_2)\)表示。如果對於賦權二部圖\(G\)中的每一條邊\(<x,y>\)都有\(l(x)+l(y)\ge\omega(xy)\)，則稱這個標號\(l\)是圖\(G\)的一個可行頂點標記。

      其意義在於權重\(\omega(xy)\)是固定的，只有頂點的標號是隨意初始化的。

      每次訪問\(y\)都需要對其施加“懲罰”（\(+\)）\(\alpha_l\)，而對與之匹配的\(x\)施加“激勵”（\(-\)）\(\alpha_l\)。

      通常選擇\(l(x_i)=\underset{y\in{Y}}{\max}{(\omega(xy))}\)，\(l(y_i)=0\)，然後通過不斷地調整\(l(x)\)和\(l(y)\)使得\(l(x)+l(y)\rightarrow\omega(xy)\)。

   2. 相等子圖的概念以及推論

      1. 相等子圖

         令\(E_l=\{xy\in{E(G)|l(x)+l(y)=\omega(xy)}\}\)（也就是匹配），則\(G(E_l)\)爲\(G\)的\(l\)相等子圖\(G_l\)。

      2. 定理推論

         相等子圖\(G_l\)的完美匹配，亦是\(G\)的最大權完美匹配。

   3. \(\mbox{KM}\)算法優化方法及步驟

      1. 如果\(\norm{X}\neq\norm{Y}\)，則給\(G(X,Y)\)添加一些頂點和權爲0的邊，使其成爲賦權二部圖。

      2. 從\(G\)中任意一可行頂點標號開始，求出相等子圖\(G_l\)（初始化一個匹配\(M\)）。

      3. 在\(G_l\)中執行匈牙利算法，觀察是否能夠輸出一個完美匹配\(M\)：

         1. 如果可以求得完美匹配\(M\)，則將其輸出並停止；

         2. 否則重新對頂點標號賦值：所有訪問過的\(y\)都需要對其施加“懲罰”（\(+\)）\(\alpha_l\)，而與它們匹配的\(x\)施加“激勵”（\(-\)）\(\alpha_l\)，其餘的頂點標號不變。

            \[\alpha_l\overset{\Delta}{=}\underset{x\in{S},y\notin{T}}{\min}{\{l(x)+l(y)-\omega(xy)\}}，其中S=\mbox{visited}_x，T=\mbox{visited}_y \]

            也就是說使得\(\mbox{visited}_{x}\)有更多的\(y\)與之匹配，而限制\(\mbox{visited}_y\)的匹配數量。