矩陣論考點分析（中國抗業帶學-銅專分校）

1. 第1章 線性空間與線性映射

   1. 求解過渡矩陣（表示矩陣）並進行座標變換；

      空間Vn(F)：ξ=[ξ1⋯ξn]和η=[η1⋯ηn]是基，T是線性變換，α∈Vn(F)任意。

      1. 已知α在ξ下的座標爲x=[x1⋮xn]，ξ→η的過度矩陣爲C，則α在η下的座標爲y=C−1x；
      2. 已知T在ξ下的表示矩陣爲A，ξ→η的過度矩陣爲C，則T在η下的表示矩陣爲B=C−1AC；
      3. 已知α在ξ下的座標爲x=[x1⋮xn]，T在ξ下的表示矩陣爲A，則T(α)在ξ下的座標爲z=Ax；

   2. 證明W是V的子空間

      1. 尋找一個元素α0∈W說明W是非空集合（一般地可以選擇零元素）；
      2. 證明W中的元素對加法封閉：∀α1,α2∈W,  (α1⊕α2)∈W；
      3. 證明W中的元素對數乘封閉：∀α∈W,k∈F,  k∘α∈W；

   3. 求子空間W的基以及它的維數

      V的基爲ξ=(ξ1⋯ξn)，W={x=ξ⋅k | p(k) is true}，p是係數k的約束，∀α∈W。

      則可知α∈V也成立，不妨設α在V下的座標爲k=(k1⋮kn)∈Cn任意，p對應的約束方程爲Ak=0。

      不妨其基礎解係爲η=[η1⋯ηr]，則k=η⋅c，其中c∈Cr任意，所以α=ξ⋅k=ξη⋅c。

      ①∀α∈W都能由ξη線性表示；②ξ是線性無關組，η也是線性無關組，所以ξη也是線性無關組。所以ξη是W的一組基，dim⁡(W)=rank⁡(η)。

      在作答時，只需書寫如下步驟：①計算p(k)對應的齊次方程Ak=0的基礎解系η; ②所以dim⁡(W)=rank⁡(η); ③且W的一組基爲ξη。

   4. 求空間的交集與並集的維數以及基

      不妨設V1=span{α1,⋯,αr}=span(A)，V2=span{β1,⋯,βs}=span(B)，αi,βj∈Cm。

      1. 求V1+V2維數和基

         求[A,B]的Hermite標準形H，則dim⁡(V1+V2)=rank⁡([A,B])，基爲[A,B]中對應於的ei(H)的極大無關組。

         可以通過滿秩分解來求：不妨設[A,B]=FG，則dim⁡(V1+V2)=rank⁡(G)，基就是F。

      2. 求V1⋂V2維數和基

         ∀η∈V1⋂V2，η=A⋅a=B⋅(−b)，即有[A,B]⋅[ab]=0，即解出齊次方程[A,B]x=0。

         基礎解係爲ξ=[ξ1,⋯,ξt](r+s)×t=[(ξ1aξ1b)⋯(ξtaξtb)]=[ξaξb]，係數爲k=[k1⋮kt]，則通解[ab]=ξ⋅k。

         所以解出：a=ξa⋅k，b=ξb⋅k。代入得η=A⋅ξa⋅k=Aξa⋅k=B⋅(−ξb⋅k)=−Bξb⋅k。

         而由於k是一個t維的自由向量（即有t個自由變元），所以不妨令γ=Aξa=−Bξb=[γ1,⋯,γt]，由於A線性無關、ξa線性無關，所以Aξa線性無關，B線性無關、ξb線性無關，所以Bξb線性無關。即有γ線性無關，而V1⋂V2中的任意向量η都能被γ線性表示出來，所以可以得出γ即是V1⋂V2的基，dim⁡(V1⋂V2)=t。

         線性無關組α=[α1,⋯,αr]和β=[β1,⋯,βs]，則α⋅β也是線性無關組。

         αβ⋅k=[α1⋯αr]⋅[β1⋯βs]⋅[k1⋮ks]=[α1⋯αr]⋅[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=α1⋅∑i=1sβi(1)ki+⋯+αr⋅∑i=1sβi(r)ki=∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki

         令αβ⋅k=0可得：∑j=1rαj⋅∑i=1sβi(j)ki=0，而α是極大無關組，所以∑i=1sβi(j)ki=0，j=1∼r。

         所以有[∑i=1sβi(1)ki⋮∑i=1sβi(r)ki]=0，即有β⋅k=0，而β是線性無關組，所以只有k=0，即證αβ也是線性無關組。

         在作答時，只要書寫如下步驟：①計算齊次方程[A,B]x=0的基礎解係爲ξ=[ξaξb]; ②又因爲γ=Aξa=−Bξb，所以V1⋂V2中的任意向量η都能被γ線性表示出來; ③即有dim⁡(V1⋂V2)=rank⁡(γ)，V1⋂V2=span(γ)。

   5. 求α到β的線性變換T在α下的表示矩陣（α→β的過渡矩陣）

      已知V中的兩個基：α=[α1⋯αr]和β=[β1⋯βs]，T(α)=β=α⋅T，其數域F=Cm。將αi和βj按照統一位次次序拉伸爲向量形式，得到兩組基對應的可逆矩陣A和B。

      ∀η∈V非零向量，在基α和β下的座標分別爲a=[a1⋮ar]和b=[b1⋮bs]，a∈Cr,b∈Cs任意非零向量。

      即有η=α⋅a=β⋅b，按統一位次次序一一對應後有A⋅a=B⋅b，由於a和b都是非零向量，且由題意α可以向β變換，所以a是有解的，故有通解爲a=A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅y，y∈Cr任意。

      故代入η並結合α⋅T=β得出等式：α⋅(A+B⋅b+(Ir−A+A)⋅y)=α⋅T⋅b。

      化簡即有：α⋅(A+B−T)⋅b=α⋅(Ir−A+A)⋅y，由dim⁡(α)=r得：rank⁡(A)=r⇔A+A=Ir。

      即有最後的等式：α⋅(A+B−T)⋅b=0。由於α是V中的一組基，所以只有座標(A+1B−T)⋅b=0時上述等式成立；又由於b是s維自由向量（解向量b有s個自由變元），所以有T在α下的表示矩陣爲A+1B。

      但是在實際作答過程中不能書寫此步驟，此步驟只是作爲輔助手段，幫助我們快速確定α與β之間的轉換關係。所以在做題時需要老老實實寫出βj和α之間的關係：β=α。

      只有當你能確定α可以向β進行轉換時才能使用該方法，因爲降維變換是不可逆的。

      當A−1存在時，A+=A−1。

   6. 核子空間與象子空間

      1. 核子空間N(T)={x∈V: Tx=0}，所以dim⁡(N(T))=n−rank⁡(T)；
      2. 象子空間R(T)={y=Tx, x∈V}，所以dim⁡(R(T))=rank⁡(T)；

2. 第2章 內積空間

   1. 正交投影矩陣與座標變換

      設Rm中L=span{α1,⋯,αn}=span{A}，則正交投影矩陣爲PL=A(ATA)−1AT。

      η∈Rm在L上的正交投影爲y=PL⋅η，在L⊥上的正交投影爲z=η−y。

3. 第3章 相似矩陣

   1. 求解Jordan標準形的兩種方法

      1. 相似變換秩不變：r(λI−A)k=r(λI−J)k，其中k可以從1開始取，直到篩選出唯一的J；
      2. 初等因子組：求解行列式因子Di(λ)，再求不變因子di(λ)=Di(λ)Di−1(λ)，最後求每個不變因子中的非1因式；

   2. 求解Jordan相似變換矩陣

      利用AP=PJ可以得出方程組APi=Pi⋅λi+Pi−1⋅Ji−1,i，其中Ji−1,i=0∨1。

      1. 當Ji−1,i=0時，Pi就是矩陣A的特徵值爲λi的特徵向量 ⇔Pi是方程(λiI−A)x=0的通解；
      2. 當Ji−1,i=1時，Pi就是方程(λiI−A)x=−Pi−1的通解，其特解的自由變元爲0；

      最後需要滿足P是可逆矩陣，即要求其行列式不爲0，求出Pi中各個自由參數的約束，並取特殊值代入。

4. 第4章 範數理論

   1. 求矩陣範數

      1. ‖A‖m1=∑i,j|aij|；
      2. ‖A‖m∞=max(m,n)⋅maxi,j(|aij|)；
      3. ‖A‖F=∑aij2=tr⁡(AHA)=∑λAHA(i)；
      4. 任意向量範數可被定義爲：‖x‖α=‖xαT‖，α=repT(1,n)；

   2. 求矩陣算子範數

      1. 與向量1-範數相容的矩陣列和範數：‖A‖1=maxj∑iaij（列模和的最大值）；
      2. 與向量∞範數相容的矩陣行和範數：‖A‖∞=maxi∑jaij（行模和的最大值）；
      3. 與向量2-範數相容的矩陣譜範數：‖A‖2=λAHA(1)；（AHA的最大特徵值的根）；
      4. 當然與向量2-範數相容的還有矩陣F範數‖A‖F；
      5. 任意矩陣算子範數可以被定義爲：‖A‖=maxx≠0‖Ax‖α‖x‖α=max‖x‖α=1‖Ax‖α；

   3. 證明實值函數‖x‖A是Cn上的一種向量範數

      1. 正定性：‖x‖A≥0，且‖x‖A=0⟺x=0；
      2. 齊次性：‖kx‖A=|k|‖x‖A；
      3. 三角不等式：‖x1+x2‖A≤‖x1‖A+‖x2‖A；

   4. 證明實數‖A‖是A的矩陣範數

      1. 正定性：‖A‖≥0，且‖A‖=0⟺A=0；
      2. 齊次性：‖kA‖=k⋅‖A‖；
      3. 三角不等式：‖A+B‖=‖A‖+‖B‖；
      4. 相容性：‖AB‖≤‖A‖⋅‖B‖；

   5. 用向量範數‖·‖α構造另一個向量範數‖·‖β；（三種性質均通過β範數搭橋）

   6. 用矩陣範數‖·‖α構造另一個矩陣範數‖·‖β；（四種性質均通過β範數搭橋）

   7. 利用蓋爾圓孤立特徵值

      1. 求行蓋爾圓和列蓋爾圓

         行蓋爾圓爲：列蓋爾圓爲：行蓋爾圓爲：Sk:|z−akk|≤∑j≠kn|akj|    列蓋爾圓爲：Gk:|z−akk|≤∑i≠kn|aik|

      2. 如果不能完全孤立所有的蓋爾圓，則使用對角陣增大孤立蓋爾圓半徑並縮小連通蓋爾圓半徑

         1. 設獨立的行蓋爾圓有r個，編號爲x=[x1⋯xr]；獨立的列蓋爾圓有c個，編號爲y=[y1⋯yc]。
         2. 選擇孤立蓋爾圓多的方向，即編號爲z=[z1⋯zm]=r≥c ? x:y的行或列蓋爾圓，增大孤立蓋爾圓半徑Rzk，k=1∼m；縮小連通蓋爾圓半徑Ri，i≠zk，k=1∼m。
         3. 令對角陣D=[δ1⋱δn]，δi={dk i=zk, k=1∼m1otherwise，增大行蓋爾圓半徑增大列蓋爾圓半徑dk={0<dk<1增大行蓋爾圓半徑1<dk增大列蓋爾圓半徑，一般選擇12或者2。則有B=D−1AD與A有相同特徵值，所以B的行列蓋爾圓也可以隔離A的特徵值。

      如果行列蓋爾圓中獨立蓋爾圓的並集包含所有蓋爾圓，則所有的蓋爾圓獨立；

      實矩陣A的蓋爾圓都孤立，則說明A的特徵值全爲實數；

      實矩陣的復特徵值一定是成對出現的，因爲實矩陣的行列式是實數，其值爲特徵值之積；

   8. 幾個重要的範數不等式（p,q爲共軛指數：1p+1q=1）

      構造Holder範數爲‖x‖p=(∑|xk|p)1p（證明滿足(1)正定性; (2)齊次性; (3)三角不等式）。

      1. Holder不等式（祖宗不等式）

         ，即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|p)1p(∑k=1n|bk|q)1q，即有:(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖p‖b‖q

      2. Cauchy-Schwarz不等式（p=q=2時的Holder不等式）

         ，即有∑k=1n|akbk|=∑k=1n|ak||bk|≤(∑k=1n|ak|2)12(∑k=1n|bk|2)12，即有(a,b)≤(|a|,|b|)≤‖a‖2‖b‖2

      3. 多重Holder不等式（m個n維向量的Hadamard積形式：(⨀|Xi|,rep(1,n))=‖⨀|Xi|‖1）

         ，即有∑k=1n∏i=1m|Xik|≤∏i=1m(∑k=1n|Xik|pi)1pi，即有(⨀i=1mXi,rep(1,n))≤‖⨀i=1m|Xi|‖1≤∏i=1m‖Xi‖pi

      4. Minkowski不等式（Holder範數的三角不等式）

         ，即有(∑k=1n|ak+bk|p)1p≤(∑k=1n|ak|p)1p+(∑k=1n|bk|p)1p，即有‖a+b‖p≤‖a‖p+‖b‖p

   9. 均值不等式中1-範數與2-範數的關係

      算術平均數平方平均數{算術平均數:An=∑inxin=x1+⋯+xnn=1n⋅‖x‖1平方平均數:Qn=∑inxi2n=x12+⋯+xn2n=1n⋅‖x‖2

      由算術平均數≤平方平均數可得：‖x‖1≤n⋅‖x‖2，而根據倆範數的定義我們知道：‖x‖2≤‖x‖1，所以最終我們得出：‖x‖2≤‖x‖1≤n⋅‖x‖2。

5. 第5章 矩陣分析

   1. 最小多項式求f(At)

      1. 求解最小多項式mA(λ)

         首先求解|λI−A|=cA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ci，然後查看∏i=1n(λ−λi)ri是否是零矩陣，如果是則求出最小多項式爲mA(λ)=∏i=1n(λ−λi)ri，其中ri=1:ci。

      2. 用A的多項式近似f(At)（待定係數）

         構造函數r(λ)=∑i=0m−1ai⋅λi，其中的m是指最小多項式mA(λ)的最高次數。用rA(λ)近似f(λ)即要滿足：

         ，其中的重數f(k)(λi)=r(k)(λi)，其中k=1:(λi的重數)

         解得ai代入rA(λ)，最後f(At)=r(At)=∑i=0m−1ai⋅Ai即可獲得f(At)對應的A多項式。

   2. 用Jordan標準形求f(At)

      不妨設Ji是A的第i個Jordan塊，ki爲λi的重數，則有（行泰勒展開項）

      f(Jit)=[f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋯1(ki−1)!d(ki−1)dλ(ki−1)f(λt)|λ=λi0f(λit)ddλf(λt)|λ=λi⋮00⋱⋮⋮⋮⋮0⋯⋯f(λit)]

      由f(At)=P⋅f(Jt)⋅P−1得出：f(At)=P⋅diag({f(Jit)})⋅P−1。

   3. 求解一階微分方程組

      x(t)=eA(t−t0)⋅c+eAt⋅∫t0te−Au⋅f(u) du

   4. 矩陣求導與向量求導

      導數的結構首先由分母的佈局決定，其中的元素由分子的佈局決定。

      1. ddx(xTAx)=Ax
      2. ddX(tr⁡(AX))=AT
      3. ddx(Ax)=[a11⋯amn]T；
      4. ddx(xTAT)=AT；
      5. ddA(tr⁡(A))=In；

6. 矩陣分解

   1. 滿秩分解及其廣義逆

      求得A的Hermite標準形（行最簡標準形），記爲AH=[G0]，然後取F爲A中對應於AH的極大線性無關組。

      A+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH。

   2. 奇異值分解及其廣義逆

      1. 首先求出AHA的特徵值，取其非0特徵值爲λ1:r（遞減），則A的奇異值爲σ1:r=λ1:r；
      2. 然後令Σ=diag({σi})，則V1爲λ1:r對應的特徵向量，然後取與V1單位正交的V2；
      3. U1=AV1Σ−1，取與U1單位正交的U2；
      4. A=U[Σ0T00]VH，A+=V[Σ−10T00]UH；

      由於V2與V1正交，所以求V2即求V1Hx=0的基礎解系的單位向量；同理U2爲U1Hx=0的基礎解系的單位向量。

   3. 正交三角分解

      1. Schmidt正交化

         βs=αs−∑i=1s−1<βi,αs><βi,βi>βi=αs−β1:s⋅ks     qs=βs‖βs‖2A=QR=[q1,⋯,qn]⋅[r1,⋯,rn]αs=[β1:s−1,βs,βs+1:n]⋅[ks10]=[q1:s,qs+1:n]⋅[‖β1:s‖20]∘[k1:s10]

         首先使用Schmidt求出正交向量組q，然後通過Schmidt公式反推出α與q的線性表出關係r。

      2. Householder變換

         αi=Bi:m,i(i)    ‖ρi‖2=‖αi‖2     ui=αi−ρie1‖αi−ρie1‖2H~i=I−2uiuiH    B(i+1)=[Ii0T0H~i]B(i)    B(1)=A

         ρi⋅αie1要是實數，也就是ρi必須和αie1（αi的第1個元素）在複數域上形式相同。

7. 第7章 廣義逆矩陣

   1. Ax=b有解

      AA+b=b，通解爲x=A+b+(I−A+A)y，y∈Cn任意，極小範數解x0=A+b；

   2. Ax=b無解

      AA+b≠b，通解爲x=A+b+(I−A+A)y，y∈Cn任意，極小範數最小二乘解x0=A+b；