前言
大家好，我是小彭。
在前面的文章裏，我們聊到了計算機的馮·諾依曼架構的 3 個基本原則。其中第 1 個原則是計算機中所有信息都是採用二進制格式的編碼。也就是說，在計算機中程序的數據和指令，以及用戶輸入的所有數據，計算機都需要把它們轉換爲二進制的格式，才能進行識別和運算。
然而，我們日常生活接觸到的大部分數字卻是十進制編碼，例如手機號碼、工牌號、學號。那爲什麼計算機要使用二進制數制？二進制數據如何進行運算，以及計算機做了哪些優化來如何提高運算的效率？今天我們就圍繞這些問題展開。
思維導圖：
1. 爲什麼計算機要使用二進制數制？
所謂數制其實就是一種 “計數的進位方式”。
常見的數制有十進制、二進制、八進制和十六進制：
十進制是我們日常生活中最熟悉的進位方式，它一共有 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 十個符號。在計數的過程中，當某一位滿 10 時，就需要向它臨近的高位進一，即逢十進一；
二進制是程序員更熟悉的進位方式，也是隨着計算機的誕生而發展起來的，它只有 0 和 1 兩個符號。在計數的過程中，當某一位滿 2 時，就需要向它臨近的高位進一，即逢二進一；
八進制和十六進制同理。
那麼，爲什麼計算機要使用二進制數制，而不是人類更熟悉的十進制呢？其原因在於二進制只有兩種狀態，製造只有 2 個穩定狀態的電子元器件可以使用高低電位或有無脈衝區分，而相比於具備多個狀態的電子元器件會更加穩定可靠。
2.有符號數與無符號數
在計算機中會區分有符號數和無符號數，無符號數不需要考慮符號，可以將數字編碼中的每一位都用來存放數值。有符號數需要考慮正負性，然而計算機是無法識別符號的 “正+” 或 “負-” 標誌的，那怎麼辦呢？
好在我們發現 “正 / 負” 是兩種截然不同的狀態，正好可以映射到計算機能夠理解的 “0 / 1” 上。因此，我們可以直接 “將符號數字化”，將 “正+” 數字化爲 “0”，將 “負-” 數字化爲 “1”，並將數字化後的符號和數值共同組成數字編碼。
另外，爲了計算方便，我們額外再規定將 “符號位” 放在數字編碼的 “最高位”。例如，+1110 和 -1110 用 8 位二進制表示就是：
- 0000, 1110（符號作爲編碼的一部分，最高位 0 表示正數）
- 1000, 1110（符號作爲編碼的一部分，最高位 1 表示負數）
從中我們也可以看出無符號數和有符號數的區別：
1、最高位功能不同： 無符號數的編碼中的每一位都可以用來存放數值信息，而有符號數需要在編碼的最高位留出一位符號位；
2、數值範圍不同： 相同位數下有符號數和無符號數表示的數值範圍不同。以 16 位數爲例，無符號數可以表示 0~65536，而有符號數可以表示 -32768~32768。
提示： 無符號數和有符號數表示的數值範圍大小是一樣大的，n 位二進制最多隻能表示
個信息量，這是無法被突破的。
3. 機器數的運算效率問題
在計算機中，我們會把帶 “正 / 負” 符號的數稱爲真值（True Value），而把符號化後的數稱爲機器數（Computer Number)。
機器數纔是數字在計算機中的二進制表示。 例如在前面的數字中， +1110 是真值，而 0000, 1110 是機器數。新的問題來了：將符號數字化後的機器數，在運算的過程中符號位是否與數值參與運算，又應該如何運算呢？
我們先舉幾個加法運算的例子：
- 兩個正數相加：
0000, 1110 + 0000, 0001 = 0000, 1111 // 14 + 1 = 15 正確
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位
- 兩個負數相加：
1000, 1110 + 1000, 0001 = 0000, 1111 // (-14) + (-1) = 15 錯誤
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位（最高位的 1 溢出）
- 正負數相加：
0000, 1110 + 1000, 0001 = 1001, 1111 // 14 + (-1) = -15 錯誤
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位
可以看到，在對機器數進行 “按位加法” 運算時，只有兩個正數的加法運算的結果是正確的，而包含負數的加法運算的結果卻是錯誤的，會出現 -14 - 1 = 15 和 14 - 1 = -15 這種錯誤結果。
所以，帶負數的加法運算就不能使用常規的按位加法運算了，需要做特殊處理：
-
兩個正數相加：
- 直接做按位加法。
-
兩個負數相加：
- 1、用較大的絕對值 + 較小的絕對值（加法運算）；
- 2、最終結果的符號爲負。
-
正負數相加：
- 1、判斷兩個數的絕對值大小（數值部分）；
- 2、用較大的絕對值 - 較小的絕對值（減法運算）；
- 3、最終結果的符號取絕對值較大數的符號。
哇🤩？好好的加法運算給整成減法運算？ 運算器的電路設計不僅要多設置一個減法器，而且運算步驟還特別複雜。那麼，有沒有不需要設置減法器，而且步驟簡單的方案呢？
4. 原碼、反碼、補碼
爲了解決有符號機器數運算效率問題，計算機科學家們提出多種機器數的表示法：
| 機器數 | 正數 | 負數 |
|---|---|---|
| 原碼 | 符號位表示符號 數值位表示真值的絕對值 |
符號位表示數字的符號 數值位表示真值的絕對值 |
| 反碼 | 無（或者認爲是原碼本身） | 符號位爲 1 數值位是對原碼數值位的 “按位取反” |
| 補碼 | 無（或者認爲是原碼本身） | 在負數反碼的基礎上 + 1 |
1、原碼： 原碼是最簡單的機器數，例如前文提到從
+1110和-1110轉換得到的0000, 1110和1000, 1110就是原碼錶示法，所以原碼在進行數字運算時會存在前文提到的效率問題；2、反碼： 反碼一般認爲是原碼和補碼轉換的中間過渡；
-
3、補碼： 補碼纔是解決機器數的運算效率的關鍵， 在計算機中所有 “整型類型” 的負數都會使用補碼錶示法；
正數的補碼是原碼本身；- 零的補碼是零；
- 負數的補碼是在反碼的基礎上再加 1。
很多教材和網上的資料會認爲正數的原碼、反碼和補碼是相同的，這麼說倒也不影響什麼。 但結合補碼的設計原理，小彭的觀點是正數是沒有反碼和補碼的，負數使用補碼是爲了找到一個 “等價” 的正補數代替負數參與計算，將加減法運算統一爲兩個正數加法運算，而正數自然是不需要替換的，所以也就沒有補碼的形式。
提示： 爲了便於你理解，小彭後文會繼續用
“正數的補碼是原碼本身”這個觀點闡述。
5. 使用補碼消除減法運算
理解補碼錶示法後，似乎還是不清楚補碼有什麼用❓
我們重新計算上一節的加法運算試試：
| 舉例 | 真值 | 原碼 | 反碼 | 補碼 |
|---|---|---|---|---|
| +14 | +1110 | 0000, 1110 | 0000, 1110 | 0000, 1110 |
| +13 | +1101 | 0000, 1101 | 0000, 1101 | 0000, 1101 |
| -14 | +1110 | 1000, 1110 | 1111, 0001 | 1111, 0010 |
| -15 | -1110 | 1000, 1111 | 1111, 0000 | 1111, 0001 |
| +1 | +0001 | 0000, 0001 | 0000, 0001 | 0000, 0001 |
| -1 | -0001 | 1000, 0001 | 1111, 1110 | 1111, 1111 |
- 兩個正數相加：
// 補碼錶示法
0000, 1110 + 0000, 0001 = 0000, 1111 // 14 + 1 = 15 正確
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位
- 兩個負數相加：
// 補碼錶示法
1111, 0010 + 1111, 1111 = 1111, 0001 // (-14) + (-1) = -15 正確
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位（最高位的 1 溢出）
- 正負數相加：
// 補碼錶示法
0000, 1110 + 1111, 1111 = 0000, 1101 // 14 + (-1) = 13 正確
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位（最高位的 1 溢出）
可以看到，使用補碼錶示法後，有符號機器數加法運算就只是純粹的加法運算，不會因爲符號的正負性而採用不同的計算方法，也不需要減法運算。因此電路設計中只需要設置加法器和補數器，就可以完成有符號數的加法和減法運算，能夠簡化電路設計。
除了消除減法運算外，補碼錶示法還實現了 “0” 的機器數的唯一性：
在原碼錶示法中，“+0” 和 “-0” 都是合法的，而在補碼錶示法中 “0” 只有唯一的機器數表示，即 0000, 0000 。換言之補碼能夠比原碼多表示一個最小的負數 1000, 0000。
最後提供按照不同表示法解釋二進制機器數後得到的真值對比：
| 二進制數 | 無符號真值 | 原碼真值 | 反碼真值 | 補碼真值 |
|---|---|---|---|---|
| 0000, 0000 | 0 | +0 | +0 | +0 |
| 0000, 0001 | 1 | +1 | +1 | +1 |
| … | … | … | … | … |
| 1000, 0000 | 128 | -0（負零，無意義） | -127 | -128（多表示一個數） |
| 1000, 0001 | 129 | -1 | -126 | -127 |
| … | … | … | … | … |
| 1111, 1110 | 254 | -126 | -1 | -2 |
| 1111, 1111 | 255 | -127 | -0（負零） | -1 |
6. 補碼我懂了，但是爲什麼？
理解原碼和補碼的定義不難，理解補碼作用也不難，難的是理解補碼是怎麼設計出來的，總不可能是被樹上的蘋果砸到後想到的吧？
這就要提到數學中的 “補數” 概念：
- 1、當一個正數和一個負數互爲補數時，它們的絕對值之和就是模；
- 2、一個負數可以用它的正補數代替。
6.1 時鐘裏的補數
聽起來很抽象對吧❓其實生活中，就有一個更加形象的例子 —— 時鐘，時鐘裏就蘊含着補數的概念！
比如說，現在時鐘的時針刻度指向 6 點，我們想讓它指向 3 點，應該怎麼做：
- 方法 1 ： 逆時針地撥動 3 個點數，讓時針指向 3 點，這相當於做減法運算 -3；
- 方法 2： 順時針地撥動 9 個點數，讓時針指向 3 點，這相當於做加法運算 +9。
可以看到，對於時鐘來說 -3 和 +9 竟然是等價的！ 這是因爲時鐘只能 12 個小時，當時間點數超過 12 時就會自動丟失，所以 15 點和 3 點在時鐘看來是都是 3 點。如果我們要在時鐘上進行 6 - 3 減法運算，我們可以將 -3 等價替換爲它的正補數 +9 後參與計算，從而將減法運算替換爲 6 + 9 加法運算，結果都是 3。
6.2 十進制的例子
理解了補數的概念後，我們再多看一個十進制的例子：我們要計算十進制 354365 - 95937 = 的結果，怎麼做呢？
- 方法 1 - 借位做減法： 常規的做法是利用連續向前借位做減法的方式計算，這沒有問題；
- 方法 2 - 減模加補： 使用補數的概念後，我們就可以將減法運算消除爲加法運算。
具體來說，如果我們限制十進制數的位長最多隻有 6 位，那麼模就是 1000000，-95937 對應的正補數就是 1000000 - 95937 = 904063 。此時，我們可以直接用正補數代替負數參與計算，則有：
354365 - 95937 // = 258428
= 354365 - (1000000 - 904063)
= 354365 - 1000000 + 904063 【減整加補】
= 258428
可以看到，把 -95937 等價替換爲 +904063 後，就把減法運算替換爲加法運算。細心的你可能要舉手提問了，還是需要減去 1000000 呀？🙋🏻♀️
其實並不用，因爲 1000000 是超過位數限制的，所以減去 1000000 這一步就像時針逆時針撥動一整圈一樣是無效的。所以實際上需要計算的是：
// 實際需要計算的是：
354365 + 904063
= 1258428 = 258428
^
最高位 1 超出位數限制，直接丟棄
6.3 爲什麼要使用補碼？
繼續使用前文提到的 14 + (-1) 正負數相加的例子：
// 原碼錶示法
0000, 1110 + 1000, 0001 = 1001, 1111 // 14 + (-1) = -15 錯誤
^ ^ ^
符號位 符號位 符號位
// 補碼錶示法
0000, 1110 + 1111, 1111 = 1, 0000, 1101 // 14 + (-1) = 13 正確
^ ^ ^
符號位 符號位 最高位 1 超出位數限制，直接丟棄
如果我們限制二進制數字的位長最多隻有 8 位，那麼模就是 1, 0000, 0000 ，此時，-1 的二進制數 1000, 0001 的正補數就是 1111, 1111。
我們使用正補數 1111, 1111 代替負數 1000, 0001 參與運算，加法運算後的結果是 1, 0000, 1101。其中最高位 1 超出位數限制，直接丟棄，所以最終結果是 0000, 1101，也就是 13，計算正確。
補碼示意圖
到這裏，相信補碼的設計原理已經很清楚了。
補碼的關鍵在於：找到一個與負數等價的正補數，使用該正補數代替負數，從而將減法運算替換爲兩個正數加法運算。 補碼的出現與運算器的電路設計有關，從設計者的角度看，希望儘可能簡化電路設計和計算複雜度。而使用正補數代替負數就可以消除減法器，實現簡化電路的目的。
所以，小彭認爲只有負數才存在補碼，正數本身就是正數，根本就沒必要使用補數，更不需要轉爲補碼。而且正數使用補碼的話，還不能把負數轉補碼的算法用在正數上，還得強行加一條 “正數的補碼是原碼本身” 的規則，就離譜好吧。
7. 總結
1、無符號數的編碼中的每一位都可以用來存放數值信息，而有符號數需要在最高位留出一位符號位；
2、在有符號數的機器數運算中，需要對正數和負數採用不同的計算方法，而且需要引入減法器；
3、爲了解決有符號機器數運算效率問題，計算機科學家們提出多種機器數的表示法：原碼、反碼、補碼和移碼；
4、使用補碼錶示法後，運算器可以消除減法運算，而且實現了 “0” 的機器數的唯一性；
5、補碼的關鍵是找到一個與負數等價的正補數，使用該正補數代替負數參與計算，從而將減法運算替換爲加法運算。
在前文講補碼的地方，我們提到計算機所有 “整型類型” 的負數都會使用補碼錶示法，刻意強調 “整數類型” 是什麼原因呢，難道浮點數和整數在計算機中的表示方法不同嗎？這個問題我們在 下一篇文章 裏討論，請關注。
參考資料
- 計算機組成原理教程（第 2、6 章） —— 尹豔輝 王海文 邢軍 著
- 深入淺出計算機組成原理（第 11 ~ 16 講） —— 徐文浩 著，極客時間 出品
- 10分鐘速成課 計算機科學 —— Carrie Anne 著
- Binary number —— Wikipedia